Theorem lgssq2 14903

Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgssq2	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L ( N ^ 2 ) ) = 1 )

Proof of Theorem lgssq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> A e. ZZ )
2		nnz 9302	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> N e. ZZ )
4		nnne0 8977	. . . 4 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
5	4	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> N =/= 0 )
6		lgsdi 14899	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N =/= 0 /\ N =/= 0 ) ) -> ( A /L ( N x. N ) ) = ( ( A /L N ) x. ( A /L N ) ) )
7	1, 3, 3, 5, 5, 6	syl32anc 1257	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L ( N x. N ) ) = ( ( A /L N ) x. ( A /L N ) ) )
8		nncn 8957	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
9	8	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> N e. CC )
10	9	sqvald 10682	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
11	10	oveq2d 5912	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L ( N ^ 2 ) ) = ( A /L ( N x. N ) ) )
12		lgscl 14876	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
13	1, 3, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
14	13	zred 9405	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L N ) e. RR )
15		absresq 11119	. . . 4 |- ( ( A /L N ) e. RR -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) ^ 2 ) = ( ( A /L N ) ^ 2 ) )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) ^ 2 ) = ( ( A /L N ) ^ 2 ) )
17		lgsabs1 14901	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
18	2, 17	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
19	18	biimp3ar 1357	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 )
20	19	oveq1d 5911	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
21		sq1 10645	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2238	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) ^ 2 ) = 1 )
23	13	zcnd 9406	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L N ) e. CC )
24	23	sqvald 10682	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( A /L N ) ^ 2 ) = ( ( A /L N ) x. ( A /L N ) ) )
25	16, 22, 24	3eqtr3d 2230	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> 1 = ( ( A /L N ) x. ( A /L N ) ) )
26	7, 11, 25	3eqtr4d 2232	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( A /L ( N ^ 2 ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   x. cmul 7846   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ^cexp 10550   abscabs 11038   gcd cgcd 11975   /Lclgs 14859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-proddc 11591  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-phi 12243  df-pc 12317  df-lgs 14860

This theorem is referenced by:  lgs1  14906