Theorem pczcl 13000

Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pczcl	|- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. NN0 )

Proof of Theorem pczcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) = sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < )
2	1	pczpre 12999	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) = sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) )
3		prmuz2 12832	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eqid 2234	. . . . 5 |- { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } = { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N }
5	4, 1	pcprecl 12991	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) e. NN0 /\ ( P ^ sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) ) || N ) )
6	3, 5	sylan 283	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) e. NN0 /\ ( P ^ sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) ) || N ) )
7	6	simpld 112	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> sup ( { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N } , RR , < ) e. NN0 )
8	2, 7	eqeltrd 2311	1 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   supcsup 7275   RRcr 8128   0cc0 8129   < clt 8310   2c2 9290   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ^cexp 10904   || cdvds 12477   Primecprime 12808   pCnt cpc 12986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-dvds 12478  df-gcd 12654  df-prm 12809  df-pc 12987

This theorem is referenced by:  pccl  13001  pcdiv  13004  pcqmul  13005  pcqcl  13008  pcxnn0cl  13012  pcge0  13015  pcdvdsb  13022  pcdvdstr  13029  pcgcd1  13030  pc2dvds  13032  pcz  13034  pcaddlem  13041  pcadd  13042  qexpz  13054  lgsval  15894  lgsfcl2  15896  lgsdir  15925  lgsdilem2  15926  lgsdi  15927  lgsne0  15928