Theorem pcxnn0cl 12504

Description: Extended nonnegative integer closure of the general prime count function. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pcxnn0cl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem pcxnn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12498	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
2		pnf0xnn0 9336	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
3	1, 2	eqeltrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℕ0*)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℕ0*)
5		oveq2 5933	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
6	5	eleq1d 2265	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0* ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℕ0*))
7	4, 6	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*))
8		pczcl 12492	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
9	8	nn0xnn0d 9338	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*)
10	9	expr 375	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*))
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		0z 9354	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		zdceq 9418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
14	11, 12, 13	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
15		dcne 2378	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
17	7, 10, 16	mpjaod 719	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  (class class class)co 5925  0cc0 7896  +∞cpnf 8075  ℕ₀^*cxnn0 9329  ℤcz 9343  ℙcprime 12300   pCnt cpc 12478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-xnn0 9330  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-pc 12479

This theorem is referenced by:  pcgcd  12523