Theorem pcxnn0cl 12242

Description: Extended nonnegative integer closure of the general prime count function. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pcxnn0cl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem pcxnn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12236	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
2		pnf0xnn0 9184	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
3	1, 2	eqeltrdi 2257	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℕ0*)
4	3	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℕ0*)
5		oveq2 5850	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
6	5	eleq1d 2235	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0* ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℕ0*))
7	4, 6	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*))
8		pczcl 12230	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
9	8	nn0xnn0d 9186	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*)
10	9	expr 373	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*))
11		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		0z 9202	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		zdceq 9266	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
14	11, 12, 13	sylancl 410	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
15		dcne 2347	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
16	14, 15	sylib 121	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
17	7, 10, 16	mpjaod 708	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  (class class class)co 5842  0cc0 7753  +∞cpnf 7930  ℕ₀^*cxnn0 9177  ℤcz 9191  ℙcprime 12039   pCnt cpc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-xnn0 9178  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040  df-pc 12217

This theorem is referenced by:  pcgcd  12260