Theorem relogbzcl 15763

Description: Closure of the general logarithm with integer base on positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbzcl	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) e. RR )

Proof of Theorem relogbzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgt1rpn0n1 9991	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B e. RR+ /\ B =/= 0 /\ B =/= 1 ) )
2	1	simp1d 1036	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4	1	simp3d 1038	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 1 )
5		eluzelz 9826	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
6		1zzd 9567	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. ZZ )
7		zapne 9615	. . . . 5 |- ( ( B e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( B # 1 <-> B =/= 1 ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B # 1 <-> B =/= 1 ) )
9	4, 8	mpbird 167	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B # 1 )
10	9	adantr 276	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ ) -> B # 1 )
11		simpr 110	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ ) -> X e. RR+ )
12		rplogbcl 15757	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) e. RR )
13	3, 10, 11, 12	syl3anc 1274	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   # cap 8820   2c2 9253   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   RR+crp 9949   log_b clogb 15754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-ioo 10188  df-ico 10190  df-icc 10191  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-e 12290  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-ntr 14907  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-tx 15064  df-cncf 15382  df-limced 15467  df-dvap 15468  df-relog 15669  df-logb 15755

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  15780  sqrt2cxp2logb9e3  15786