Theorem sqrt2cxp2logb9e3 16208

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ) are not rational (see sqrt2irr0 12968 resp. 2logb9irr 16204), satisfying the statement in 2irrexpq 16209. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	|- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 10076	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
2		rpcxpsqrt 16154	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` 2 )
4	3	eqcomi 2242	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) = ( 2 ^c ( 1 / 2 ) )
5	4	oveq1i 6098	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) ^c ( 2 logb 9 ) )
6		halfre 9529	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. RR
7		2z 9683	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
8		uzid 9952	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		9nn 9484	. . . . . 6 |- 9 e. NN
11		nnrp 10081	. . . . . 6 |- ( 9 e. NN -> 9 e. RR+ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- 9 e. RR+
13		relogbzcl 16185	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. RR+ ) -> ( 2 logb 9 ) e. RR )
14	9, 12, 13	mp2an 430	. . . 4 |- ( 2 logb 9 ) e. RR
15		cxpcom 16170	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( 2 logb 9 ) e. RR ) -> ( ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) ) )
16	1, 6, 14, 15	mp3an 1378	. . 3 |- ( ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) )
17		rpcxpcl 16133	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 logb 9 ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) e. RR+ )
18	1, 14, 17	mp2an 430	. . . 4 |- ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) e. RR+
19		rpcxpsqrt 16154	. . . 4 |- ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) e. RR+ -> ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) )
21	5, 16, 20	3eqtri 2263	. 2 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) )
22		1re 8331	. . . . 5 |- 1 e. RR
23		2re 9383	. . . . 5 |- 2 e. RR
24		1lt2 9485	. . . . 5 |- 1 < 2
25	22, 23, 24	gtapii 8970	. . . 4 |- 2 # 1
26		rpcxplogb 16197	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR+ /\ 2 # 1 /\ 9 e. RR+ ) -> ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) = 9 )
27	1, 25, 12, 26	mp3an 1378	. . 3 |- ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) = 9
28	27	fveq2i 5701	. 2 |- ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ) = ( sqr ` 9 )
29		sqrt9 11836	. 2 |- ( sqr ` 9 ) = 3
30	21, 28, 29	3eqtri 2263	1 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   1c1 8186   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   9c9 9371   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   RR+crp 10071   sqrcsqrt 11784   ^c ccxp 16083   log_b clogb 16176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ioo 10311  df-ico 10313  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-e 12441  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15221  df-topon 15234  df-bases 15266  df-ntr 15319  df-cn 15411  df-cnp 15412  df-tx 15476  df-cncf 15794  df-limced 15879  df-dvap 15880  df-relog 16084  df-rpcxp 16085  df-logb 16177

This theorem is used by:  2irrexpq  16209  2irrexpqap  16211