ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2cxp2logb9e3 Unicode version

Theorem sqrt2cxp2logb9e3 14286
Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three.  ( sqr `  2
) and  ( 2 logb  9 ) are not rational (see sqrt2irr0 12158 resp. 2logb9irr 14282), satisfying the statement in 2irrexpq 14287. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2cxp2logb9e3  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3
StepHypRef Expression
1 2rp 9656 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 rpcxpsqrt 14235 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  2
) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  2
)
43eqcomi 2181 . . . 4  |-  ( sqr `  2 )  =  ( 2  ^c 
( 1  /  2
) )
54oveq1i 5884 . . 3  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( ( 2  ^c 
( 1  /  2
) )  ^c 
( 2 logb  9 ) )
6 halfre 9130 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
7 2z 9279 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 9540 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 9nn 9085 . . . . . 6  |-  9  e.  NN
11 nnrp 9661 . . . . . 6  |-  ( 9  e.  NN  ->  9  e.  RR+ )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  9  e.  RR+
13 relogbzcl 14263 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  RR+ )  ->  (
2 logb  9 )  e.  RR )
149, 12, 13mp2an 426 . . . 4  |-  ( 2 logb  9 )  e.  RR
15 cxpcom 14250 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  e.  RR  /\  (
2 logb  9 )  e.  RR )  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( ( 2  ^c 
( 2 logb  9 ) )  ^c  ( 1  /  2 ) ) )
161, 6, 14, 15mp3an 1337 . . 3  |-  ( ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  ^c  ( 1  /  2 ) )
17 rpcxpcl 14217 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 logb  9 )  e.  RR )  ->  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  e.  RR+ )
181, 14, 17mp2an 426 . . . 4  |-  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  e.  RR+
19 rpcxpsqrt 14235 . . . 4  |-  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( sqr `  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  ^c  ( 1  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
2  ^c  ( 2 logb  9 ) ) )
215, 16, 203eqtri 2202 . 2  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( sqr `  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) ) )
22 1re 7955 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 2re 8987 . . . . 5  |-  2  e.  RR
24 1lt2 9086 . . . . 5  |-  1  <  2
2522, 23, 24gtapii 8589 . . . 4  |-  2 #  1
26 rpcxplogb 14275 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2 #  1  /\  9  e.  RR+ )  ->  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  9 )
271, 25, 12, 26mp3an 1337 . . 3  |-  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  9
2827fveq2i 5518 . 2  |-  ( sqr `  ( 2  ^c 
( 2 logb  9 ) ) )  =  ( sqr `  9 )
29 sqrt9 11052 . 2  |-  ( sqr `  9 )  =  3
3021, 28, 293eqtri 2202 1  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   1c1 7811   # cap 8536    / cdiv 8627   NNcn 8917   2c2 8968   3c3 8969   9c9 8975   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   RR+crp 9651   sqrcsqrt 11000    ^c ccxp 14171   logb clogb 14254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-ioo 9890  df-ico 9892  df-icc 9893  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-fac 10701  df-bc 10723  df-ihash 10751  df-shft 10819  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-ef 11651  df-e 11652  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-ntr 13489  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-tx 13646  df-cncf 13951  df-limced 14018  df-dvap 14019  df-relog 14172  df-rpcxp 14173  df-logb 14255
This theorem is referenced by:  2irrexpq  14287  2irrexpqap  14289
  Copyright terms: Public domain W3C validator