ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2cxp2logb9e3 Unicode version

Theorem sqrt2cxp2logb9e3 14478
Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three.  ( sqr `  2
) and  ( 2 logb  9 ) are not rational (see sqrt2irr0 12166 resp. 2logb9irr 14474), satisfying the statement in 2irrexpq 14479. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2cxp2logb9e3  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3
StepHypRef Expression
1 2rp 9660 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 rpcxpsqrt 14427 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  2
) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  2
)
43eqcomi 2181 . . . 4  |-  ( sqr `  2 )  =  ( 2  ^c 
( 1  /  2
) )
54oveq1i 5887 . . 3  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( ( 2  ^c 
( 1  /  2
) )  ^c 
( 2 logb  9 ) )
6 halfre 9134 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
7 2z 9283 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 9544 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 9nn 9089 . . . . . 6  |-  9  e.  NN
11 nnrp 9665 . . . . . 6  |-  ( 9  e.  NN  ->  9  e.  RR+ )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  9  e.  RR+
13 relogbzcl 14455 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  RR+ )  ->  (
2 logb  9 )  e.  RR )
149, 12, 13mp2an 426 . . . 4  |-  ( 2 logb  9 )  e.  RR
15 cxpcom 14442 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  e.  RR  /\  (
2 logb  9 )  e.  RR )  ->  ( ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( ( 2  ^c 
( 2 logb  9 ) )  ^c  ( 1  /  2 ) ) )
161, 6, 14, 15mp3an 1337 . . 3  |-  ( ( 2  ^c  ( 1  /  2 ) )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  ^c  ( 1  /  2 ) )
17 rpcxpcl 14409 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 logb  9 )  e.  RR )  ->  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  e.  RR+ )
181, 14, 17mp2an 426 . . . 4  |-  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  e.  RR+
19 rpcxpsqrt 14427 . . . 4  |-  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( sqr `  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  ^c  ( 1  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
2  ^c  ( 2 logb  9 ) ) )
215, 16, 203eqtri 2202 . 2  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  ( sqr `  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) ) )
22 1re 7958 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 2re 8991 . . . . 5  |-  2  e.  RR
24 1lt2 9090 . . . . 5  |-  1  <  2
2522, 23, 24gtapii 8593 . . . 4  |-  2 #  1
26 rpcxplogb 14467 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2 #  1  /\  9  e.  RR+ )  ->  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  9 )
271, 25, 12, 26mp3an 1337 . . 3  |-  ( 2  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  9
2827fveq2i 5520 . 2  |-  ( sqr `  ( 2  ^c 
( 2 logb  9 ) ) )  =  ( sqr `  9 )
29 sqrt9 11059 . 2  |-  ( sqr `  9 )  =  3
3021, 28, 293eqtri 2202 1  |-  ( ( sqr `  2 )  ^c  ( 2 logb  9 ) )  =  3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   1c1 7814   # cap 8540    / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   3c3 8973   9c9 8979   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   RR+crp 9655   sqrcsqrt 11007    ^c ccxp 14363   logb clogb 14446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934  ax-addf 7935  ax-mulf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-ico 9896  df-icc 9897  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-e 11659  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211  df-relog 14364  df-rpcxp 14365  df-logb 14447
This theorem is referenced by:  2irrexpq  14479  2irrexpqap  14481
  Copyright terms: Public domain W3C validator