Theorem sqrt2cxp2logb9e3 15692

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ) are not rational (see sqrt2irr0 12729 resp. 2logb9irr 15688), satisfying the statement in 2irrexpq 15693. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	|- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 9886	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
2		rpcxpsqrt 15639	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` 2 )
4	3	eqcomi 2233	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) = ( 2 ^c ( 1 / 2 ) )
5	4	oveq1i 6023	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) ^c ( 2 logb 9 ) )
6		halfre 9350	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. RR
7		2z 9500	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
8		uzid 9763	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		9nn 9305	. . . . . 6 |- 9 e. NN
11		nnrp 9891	. . . . . 6 |- ( 9 e. NN -> 9 e. RR+ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- 9 e. RR+
13		relogbzcl 15669	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. RR+ ) -> ( 2 logb 9 ) e. RR )
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 logb 9 ) e. RR
15		cxpcom 15655	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( 2 logb 9 ) e. RR ) -> ( ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) ) )
16	1, 6, 14, 15	mp3an 1371	. . 3 |- ( ( 2 ^c ( 1 / 2 ) ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) )
17		rpcxpcl 15620	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 logb 9 ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) e. RR+ )
18	1, 14, 17	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) e. RR+
19		rpcxpsqrt 15639	. . . 4 |- ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) e. RR+ -> ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) )
21	5, 16, 20	3eqtri 2254	. 2 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) )
22		1re 8171	. . . . 5 |- 1 e. RR
23		2re 9206	. . . . 5 |- 2 e. RR
24		1lt2 9306	. . . . 5 |- 1 < 2
25	22, 23, 24	gtapii 8807	. . . 4 |- 2 # 1
26		rpcxplogb 15681	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR+ /\ 2 # 1 /\ 9 e. RR+ ) -> ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) = 9 )
27	1, 25, 12, 26	mp3an 1371	. . 3 |- ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) = 9
28	27	fveq2i 5638	. 2 |- ( sqr ` ( 2 ^c ( 2 logb 9 ) ) ) = ( sqr ` 9 )
29		sqrt9 11602	. 2 |- ( sqr ` 9 ) = 3
30	21, 28, 29	3eqtri 2254	1 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8024   1c1 8026   # cap 8754   / cdiv 8845   NNcn 9136   2c2 9187   3c3 9188   9c9 9194   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   RR+crp 9881   sqrcsqrt 11550   ^c ccxp 15574   log_b clogb 15660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-pre-suploc 8146  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-pm 6815  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-ioo 10120  df-ico 10122  df-icc 10123  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-fac 10981  df-bc 11003  df-ihash 11031  df-shft 11369  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-ef 12202  df-e 12203  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-ntr 14813  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-tx 14970  df-cncf 15288  df-limced 15373  df-dvap 15374  df-relog 15575  df-rpcxp 15576  df-logb 15661

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15693  2irrexpqap  15695