Theorem rpexpcld 10552

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpexpcld.2	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		rpexpcl 10416	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2125  (class class class)co 5814   ZZcz 9146   RR+crp 9538   ^cexp 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397

This theorem is referenced by:  resqrexlemlo  10890  resqrexlemcalc1  10891  resqrexlemcalc3  10893  resqrexlemnmsq  10894  resqrexlemnm  10895  resqrexlemcvg  10896  resqrexlemglsq  10899  resqrexlemga  10900  resqrexlemsqa  10901  cvgratnnlembern  11397  cvgratnnlemsumlt  11402  cvgratnnlemrate  11404  cvgratz  11406  efgt1p2  11569  logbgcd1irraplemexp  13232  cvgcmp2nlemabs  13552  trilpolemclim  13556  trilpolemcl  13557  trilpolemisumle  13558  trilpolemeq1  13560  trilpolemlt1  13561  nconstwlpolemgt0  13583