Theorem rexanre 12009

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	|- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   ph, j   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ph ) )
3	2	ralimi 2613	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
4	3	reximi 2647	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
6	5	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ps ) )
7	6	ralimi 2613	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
8	7	reximi 2647	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
9	4, 8	jca 306	. 2 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) )
10		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( j <_ k <-> x <_ k ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( ( j <_ k -> ph ) <-> ( x <_ k -> ph ) ) )
12	11	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( x <_ k -> ph ) ) )
13	12	cbvrexv 2787	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) )
14		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( j = y -> ( j <_ k <-> y <_ k ) )
15	14	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( ( j <_ k -> ps ) <-> ( y <_ k -> ps ) ) )
16	15	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( j = y -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
17	16	cbvrexv 2787	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) )
18	13, 17	anbi12i 464	. . . 4 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
19		reeanv 2721	. . . 4 |- ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
20	18, 19	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
21		maxcl 11999	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
23		r19.26 2677	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
24		anim12 344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) )
25		simplrl 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> x e. RR )
26		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> y e. RR )
27		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A C_ RR )
28	27	sselda 3248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
29		maxleastb 12003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) ) )
32	24, 31	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
33	32	ralimdva 2617	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
34	23, 33	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
35		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( j <_ k <-> sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k ) )
36	35	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
37	36	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
38	37	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR /\ A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) )
39	22, 34, 38	syl6an 1483	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
40	39	rexlimdvva 2676	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
41	20, 40	biimtrid 152	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
42	9, 41	impbid2 143	1 |- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   {cpr 3710   class class class wbr 4131   supcsup 7328   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by: (None)