Theorem rexanre 11261

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	|- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   ph, j   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ph ) )
3	2	ralimi 2553	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
4	3	reximi 2587	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
6	5	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ps ) )
7	6	ralimi 2553	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
8	7	reximi 2587	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
9	4, 8	jca 306	. 2 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) )
10		breq1 4021	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( j <_ k <-> x <_ k ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( ( j <_ k -> ph ) <-> ( x <_ k -> ph ) ) )
12	11	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( x <_ k -> ph ) ) )
13	12	cbvrexv 2719	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) )
14		breq1 4021	. . . . . . . 8 |- ( j = y -> ( j <_ k <-> y <_ k ) )
15	14	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( ( j <_ k -> ps ) <-> ( y <_ k -> ps ) ) )
16	15	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( j = y -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
17	16	cbvrexv 2719	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) )
18	13, 17	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
19		reeanv 2660	. . . 4 |- ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
20	18, 19	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
21		maxcl 11251	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
23		r19.26 2616	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
24		anim12 344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) )
25		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> x e. RR )
26		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> y e. RR )
27		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A C_ RR )
28	27	sselda 3170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
29		maxleastb 11255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) ) )
32	24, 31	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
33	32	ralimdva 2557	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
34	23, 33	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
35		breq1 4021	. . . . . . . 8 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( j <_ k <-> sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k ) )
36	35	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
37	36	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
38	37	rspcev 2856	. . . . 5 |- ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR /\ A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) )
39	22, 34, 38	syl6an 1445	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
40	39	rexlimdvva 2615	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
41	20, 40	biimtrid 152	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
42	9, 41	impbid2 143	1 |- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 7011   RRcr 7840   < clt 8022   <_ cle 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040

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