Theorem rexanre 11860

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	|- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   ph, j   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ph ) )
3	2	ralimi 2596	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
4	3	reximi 2630	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
6	5	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ps ) )
7	6	ralimi 2596	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
8	7	reximi 2630	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
9	4, 8	jca 306	. 2 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) )
10		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( j <_ k <-> x <_ k ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( ( j <_ k -> ph ) <-> ( x <_ k -> ph ) ) )
12	11	ralbidv 2533	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( x <_ k -> ph ) ) )
13	12	cbvrexv 2769	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) )
14		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( j = y -> ( j <_ k <-> y <_ k ) )
15	14	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( ( j <_ k -> ps ) <-> ( y <_ k -> ps ) ) )
16	15	ralbidv 2533	. . . . . 6 |- ( j = y -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
17	16	cbvrexv 2769	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) )
18	13, 17	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
19		reeanv 2704	. . . 4 |- ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
20	18, 19	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
21		maxcl 11850	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
23		r19.26 2660	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
24		anim12 344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) )
25		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> x e. RR )
26		simplrr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> y e. RR )
27		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A C_ RR )
28	27	sselda 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
29		maxleastb 11854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) ) )
32	24, 31	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
33	32	ralimdva 2600	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
34	23, 33	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
35		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( j <_ k <-> sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k ) )
36	35	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
37	36	ralbidv 2533	. . . . . 6 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
38	37	rspcev 2911	. . . . 5 |- ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR /\ A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) )
39	22, 34, 38	syl6an 1479	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
40	39	rexlimdvva 2659	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
41	20, 40	biimtrid 152	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
42	9, 41	impbid2 143	1 |- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   {cpr 3674   class class class wbr 4093   supcsup 7241   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

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