Theorem rexanre 10653

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	|- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   ph, j   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ph ) )
3	2	ralimi 2438	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
4	3	reximi 2470	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
5		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
6	5	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ps ) )
7	6	ralimi 2438	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
8	7	reximi 2470	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
9	4, 8	jca 300	. 2 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) )
10		breq1 3848	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( j <_ k <-> x <_ k ) )
11	10	imbi1d 229	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( ( j <_ k -> ph ) <-> ( x <_ k -> ph ) ) )
12	11	ralbidv 2380	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( x <_ k -> ph ) ) )
13	12	cbvrexv 2591	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) )
14		breq1 3848	. . . . . . . 8 |- ( j = y -> ( j <_ k <-> y <_ k ) )
15	14	imbi1d 229	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( ( j <_ k -> ps ) <-> ( y <_ k -> ps ) ) )
16	15	ralbidv 2380	. . . . . 6 |- ( j = y -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
17	16	cbvrexv 2591	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) )
18	13, 17	anbi12i 448	. . . 4 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
19		reeanv 2536	. . . 4 |- ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
20	18, 19	bitr4i 185	. . 3 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
21		maxcl 10643	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
22	21	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR )
23		r19.26 2497	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
24		prth 336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) )
25		simplrl 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> x e. RR )
26		simplrr 503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> y e. RR )
27		simpl 107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A C_ RR )
28	27	sselda 3025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
29		maxleastb 10647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ k e. RR ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
31	30	imbi1d 229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) ) )
32	24, 31	syl5ibr 154	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
33	32	ralimdva 2441	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
34	23, 33	syl5bir 151	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
35		breq1 3848	. . . . . . . 8 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( j <_ k <-> sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k ) )
36	35	imbi1d 229	. . . . . . 7 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
37	36	ralbidv 2380	. . . . . 6 |- ( j = sup ( { x , y } , RR , < ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
38	37	rspcev 2722	. . . . 5 |- ( ( sup ( { x , y } , RR , < ) e. RR /\ A. k e. A ( sup ( { x , y } , RR , < ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) )
39	22, 34, 38	syl6an 1368	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
40	39	rexlimdvva 2496	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
41	20, 40	syl5bi 150	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
42	9, 41	impbid2 141	1 |- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   C_ wss 2999   {cpr 3447   class class class wbr 3845   supcsup 6677   RRcr 7349   < clt 7522   <_ cle 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-sup 6679  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432

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