ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zesq GIF version

Theorem zesq 10068
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 8753 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 sqval 10009 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
43oveq1d 5667 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
5 2cnd 8493 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
6 2ap0 8513 . . . . . . 7 2 # 0
76a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
81, 1, 5, 7divassapd 8291 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
94, 8eqtrd 2120 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
109adantr 270 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
11 zmulcl 8801 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
1210, 11eqeltrd 2164 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ)
131adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14 sqcl 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16 peano2cn 7615 . . . . . . . . . 10 ((𝑁↑2) ∈ ℂ → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
1817halfcld 8658 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℂ)
1918, 13pncand 7792 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑2) + 1) / 2))
20 binom21 10062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
2113, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
22 peano2cn 7615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2313, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
24 sqval 10009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
26 2cn 8491 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
27 mulcl 7467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
2826, 13, 27sylancr 405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
29 1cnd 7502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
3015, 28, 29add32d 7648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
3121, 25, 303eqtr3d 2128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
3231oveq1d 5667 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2))
33 2cnd 8493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
346a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 # 0)
3523, 23, 33, 34divassapd 8291 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)))
3617, 28, 33, 34divdirapd 8294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
3713, 33, 34divcanap3d 8260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
3837oveq2d 5668 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
3936, 38eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
4032, 35, 393eqtr3d 2128 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
41 peano2z 8784 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
42 zmulcl 8801 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
4341, 42sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
4440, 43eqeltrrd 2165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) ∈ ℤ)
45 simpl 107 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4644, 45zsubcld 8871 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
4719, 46eqeltrrd 2165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ)
4847ex 113 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4948con3d 596 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
50 zsqcl 10021 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
51 zeo2 8850 . . . . 5 ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
5250, 51syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
53 zeo2 8850 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
5449, 52, 533imtr4d 201 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
5554imp 122 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
5612, 55impbida 563 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  cc 7346  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353  cmin 7651   # cap 8056   / cdiv 8137  2c2 8471  cz 8748  cexp 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951
This theorem is referenced by:  nnesq  10069  sqrt2irrlem  11414
  Copyright terms: Public domain W3C validator