Theorem zesq 10594

Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		sqval 10534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4	3	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
5		2cnd 8951	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
6		2ap0 8971	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
8	1, 1, 5, 7	divassapd 8743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
9	4, 8	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
10	9	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
11		zmulcl 9265	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
12	10, 11	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ)
13	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14		sqcl 10537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16		peano2cn 8054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℂ → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 9122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℂ)
19	18, 13	pncand 8231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑2) + 1) / 2))
20		binom21 10588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
21	13, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
22		peano2cn 8054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23	13, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
24		sqval 10534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
26		2cn 8949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
28	26, 13, 27	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
29		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
30	15, 28, 29	add32d 8087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
31	21, 25, 30	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
32	31	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2))
33		2cnd 8951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
34	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 # 0)
35	23, 23, 33, 34	divassapd 8743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)))
36	17, 28, 33, 34	divdirapd 8746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
37	13, 33, 34	divcanap3d 8712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
38	37	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
39	36, 38	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
40	32, 35, 39	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
41		peano2z 9248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
42		zmulcl 9265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
43	41, 42	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
44	40, 43	eqeltrrd 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) ∈ ℤ)
45		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	zsubcld 9339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
47	19, 46	eqeltrrd 2248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ)
48	47	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
49	48	con3d 626	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
50		zsqcl 10546	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
51		zeo2 9318	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
53		zeo2 9318	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
54	49, 52, 53	3imtr4d 202	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
55	54	imp 123	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
56	12, 55	impbida 591	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  ℤcz 9212  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  nnesq  10595  sqrt2irrlem  12115