Theorem 2idl0 14529

Description: Every ring contains a zero two-sided ideal. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idl0.u	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
2idl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idl0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐼)

Proof of Theorem 2idl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
2		2idl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0 14506	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
5	4, 2	ridl0 14527	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
6	3, 5	elind 3392	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
7		eqid 2231	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8		2idl0.u	. . 3 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
9	1, 7, 4, 8	2idlvalg 14520	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
10	6, 9	eleqtrrd 2311	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3199  {csn 3669  ‘cfv 5326  0_gc0g 13341  Ringcrg 14012  opp_rcoppr 14083  LIdealclidl 14484  2Idealc2idl 14516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-subg 13759  df-mgp 13937  df-ur 13976  df-ring 14014  df-oppr 14084  df-subrg 14236  df-lmod 14306  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486  df-2idl 14517

This theorem is referenced by: (None)