Theorem cjne0d 10974

Description: A number which is nonzero has a complex conjugate which is nonzero. Also see cjap0d 10975 which is similar but for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cjne0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cjne0d	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem cjne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjne0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		recld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		cjne0 10935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ‘cfv 5231  ℂcc 7827  0cc0 7829  ∗ccj 10866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-2 8996  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871

This theorem is referenced by: (None)