Theorem fprodeq0 11558

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodeq0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 9313	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	ltp1d 8825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		fzdisj 9987	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7		fprodeq0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8		eluzel2 9471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		fprodeq0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	eleq2s 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		eluzelz 9475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	12, 14, 2	3jca 1167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16		eluzle 9478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
17	16, 9	eleq2s 2261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑁)
18	7, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
19		eluzle 9478	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
20	18, 19	anim12i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
21		elfz2 9951	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
22	15, 20, 21	sylanbrc 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23		fzsplit 9986	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25	12, 14	fzfigd 10366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26		elfzelz 9960	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	26	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29	2	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		fzdcel 9975	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → DECID 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
32	31	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)DECID 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
33		elfzuz 9956	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 9	eleqtrrdi 2260	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35		fprodeq0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	adantlr 469	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	6, 24, 25, 32, 37	fprodsplitdc 11537	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
39	7, 9	eleqtrdi 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		elfzuz 9956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	40, 9	eleqtrrdi 2260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
42	41, 35	sylan2 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	39, 42	fprodm1s 11542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
44		fprodeq0.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
45	7, 44	csbied 3091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴 = 0)
46	45	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
47		eluzelz 9475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	39, 47	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49		peano2zm 9229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51	11, 50	fzfigd 10366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
52		elfzuz 9956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	52, 9	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
54	53, 35	sylan2 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	51, 54	fprodcl 11548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
56	55	mul01d 8291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
57	43, 46, 56	3eqtrd 2202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
58	57	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
59	58	oveq1d 5857	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
60	2	peano2zd 9316	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
61	60, 14	fzfigd 10366	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
62	9	peano2uzs 9522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
63	7, 62	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
64		elfzuz 9956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
65	9	uztrn2 9483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
66	63, 64, 65	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
67	66	adantrl 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
68	67, 35	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	68	anassrs 398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	61, 69	fprodcl 11548	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
71	70	mul02d 8290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
72	38, 59, 71	3eqtrd 2202	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ⦋csb 3045   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115  ∅c0 3409   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  ∏cprod 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-proddc 11492

This theorem is referenced by: (None)