ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodeq0 GIF version

Theorem fprodeq0 11627
Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
fprodeq0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
fprodeq0.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fprodeq0.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ๐ด = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq0 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)๐ด = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐พ   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodeq0
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9535 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21adantl 277 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32zred 9377 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
43ltp1d 8889 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
5 fzdisj 10054 . . . 4 (๐‘ < (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘€...๐‘) โˆฉ ((๐‘ + 1)...๐พ)) = โˆ…)
64, 5syl 14 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘€...๐‘) โˆฉ ((๐‘ + 1)...๐พ)) = โˆ…)
7 fprodeq0.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
8 eluzel2 9535 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
9 fprodeq0.1 . . . . . . . . 9 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
108, 9eleq2s 2272 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
117, 10syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1211adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
13 eluzelz 9539 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
1413adantl 277 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
1512, 14, 23jca 1177 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
16 eluzle 9542 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
1716, 9eleq2s 2272 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
187, 17syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
19 eluzle 9542 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐พ)
2018, 19anim12i 338 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐พ))
21 elfz2 10017 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐พ)))
2215, 20, 21sylanbrc 417 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐พ))
23 fzsplit 10053 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐พ) โ†’ (๐‘€...๐พ) = ((๐‘€...๐‘) โˆช ((๐‘ + 1)...๐พ)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘€...๐พ) = ((๐‘€...๐‘) โˆช ((๐‘ + 1)...๐พ)))
2512, 14fzfigd 10433 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘€...๐พ) โˆˆ Fin)
26 elfzelz 10027 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
2726adantl 277 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
2812adantr 276 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
292adantr 276 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30 fzdcel 10042 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1238 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ)) โ†’ DECID ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3231ralrimiva 2550 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ)DECID ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘))
33 elfzuz 10023 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3433, 9eleqtrrdi 2271 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
35 fprodeq0.3 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3634, 35sylan2 286 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3736adantlr 477 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
386, 24, 25, 32, 37fprodsplitdc 11606 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)๐ด))
397, 9eleqtrdi 2270 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
40 elfzuz 10023 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4140, 9eleqtrrdi 2271 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
4241, 35sylan2 286 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4339, 42fprodm1s 11611 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด ยท โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
44 fprodeq0.4 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ๐ด = 0)
457, 44csbied 3105 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ด = 0)
4645oveq2d 5893 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด ยท โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด ยท 0))
47 eluzelz 9539 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4839, 47syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
49 peano2zm 9293 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5048, 49syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5111, 50fzfigd 10433 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
52 elfzuz 10023 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
5352, 9eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
5453, 35sylan2 286 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5551, 54fprodcl 11617 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด โˆˆ โ„‚)
5655mul01d 8352 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด ยท 0) = 0)
5743, 46, 563eqtrd 2214 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = 0)
5857adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = 0)
5958oveq1d 5892 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)๐ด) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)๐ด))
602peano2zd 9380 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
6160, 14fzfigd 10433 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘ + 1)...๐พ) โˆˆ Fin)
629peano2uzs 9586 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
637, 62syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
64 elfzuz 10023 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
659uztrn2 9547 . . . . . . . 8 (((๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6663, 64, 65syl2an 289 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6766adantrl 478 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6867, 35syldan 282 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6968anassrs 400 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7061, 69fprodcl 11617 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)๐ด โˆˆ โ„‚)
7170mul02d 8351 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐พ)๐ด) = 0)
7238, 59, 713eqtrd 2214 1 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)๐ด = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โฆ‹csb 3059   โˆช cun 3129   โˆฉ cin 3130  โˆ…c0 3424   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  ...cfz 10010  โˆcprod 11560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator