Theorem fprodeq0 11627

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodeq0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9535	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zred 9377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	ltp1d 8889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		fzdisj 10054	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7		fprodeq0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8		eluzel2 9535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		fprodeq0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	eleq2s 2272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		eluzelz 9539	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	12, 14, 2	3jca 1177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16		eluzle 9542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
17	16, 9	eleq2s 2272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑁)
18	7, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
19		eluzle 9542	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
20	18, 19	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
21		elfz2 10017	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
22	15, 20, 21	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23		fzsplit 10053	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25	12, 14	fzfigd 10433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26		elfzelz 10027	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
27	26	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		fzdcel 10042	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → DECID 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
32	31	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)DECID 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
33		elfzuz 10023	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 9	eleqtrrdi 2271	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35		fprodeq0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	6, 24, 25, 32, 37	fprodsplitdc 11606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
39	7, 9	eleqtrdi 2270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		elfzuz 10023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	40, 9	eleqtrrdi 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
42	41, 35	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	39, 42	fprodm1s 11611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
44		fprodeq0.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
45	7, 44	csbied 3105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴 = 0)
46	45	oveq2d 5893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
47		eluzelz 9539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	39, 47	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49		peano2zm 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51	11, 50	fzfigd 10433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
52		elfzuz 10023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	52, 9	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
54	53, 35	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	51, 54	fprodcl 11617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
56	55	mul01d 8352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
57	43, 46, 56	3eqtrd 2214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
58	57	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
59	58	oveq1d 5892	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
60	2	peano2zd 9380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
61	60, 14	fzfigd 10433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
62	9	peano2uzs 9586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
63	7, 62	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
64		elfzuz 10023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
65	9	uztrn2 9547	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
66	63, 64, 65	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
67	66	adantrl 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
68	67, 35	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	68	anassrs 400	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	61, 69	fprodcl 11617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
71	70	mul02d 8351	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
72	38, 59, 71	3eqtrd 2214	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⦋csb 3059   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   − cmin 8130  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010  ∏cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561

This theorem is referenced by: (None)