Theorem ghmghmrn 13760

Description: A group homomorphism from 𝐺 to 𝐻 is also a group homomorphism from 𝐺 to its image in 𝐻. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ghmghmrn.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ghmghmrn	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem ghmghmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmrn 13754	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑇))
2		ssid 3222	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
3		ghmghmrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s ran 𝐹)
4	3	resghm2b 13759	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
5	2, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
6	5	biimpd 144	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
7	1, 6	mpcom 36	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3175  ran crn 4695  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969   ↾_s cress 12994  SubGrpcsubg 13664   GrpHom cghm 13737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-map 6762  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-ltxr 8149  df-inn 9074  df-2 9132  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-iress 13001  df-plusg 13083  df-0g 13251  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-mhm 13452  df-submnd 13453  df-grp 13496  df-minusg 13497  df-subg 13667  df-ghm 13738

This theorem is referenced by: (None)