Theorem grstructeld2dom 15589

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 is an element of an arbitrary class 𝐶, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) is an element of this class 𝐶. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropeld.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
gropeld.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropeld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructeld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructeld.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructeld2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝑆)
grstructeld.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructeld.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructeld2dom	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑔   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructeld2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gropeld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
2		gropeld.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
3		gropeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
4		grstructeld.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
5		grstructeld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
6		grstructeld2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝑆)
7		grstructeld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8		grstructeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	grstructd2dom 15587	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶)
10		sbcel1v 3060	. 2 ⊢ ([𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 ∈ 𝐶)
11	9, 10	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1370   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  [wsbc 2997   ∖ cdif 3162  ∅c0 3459  {csn 3632   class class class wbr 4043  dom cdm 4674  Fun wfun 5264  ‘cfv 5270  2_oc2o 6495   ≼ cdom 6825  Basecbs 12774  .efcedgf 15545  Vtxcvtx 15553  iEdgciedg 15554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-1o 6501  df-2o 6502  df-dom 6828  df-sub 8244  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-dec 9504  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-edgf 15546  df-vtx 15555  df-iedg 15556

This theorem is referenced by: (None)