Theorem grstructeld2dom 15900

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 is an element of an arbitrary class 𝐶, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) is an element of this class 𝐶. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropeld.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
gropeld.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropeld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructeld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructeld.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructeld2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝑆)
grstructeld.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructeld.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructeld2dom	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑔   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructeld2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gropeld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
2		gropeld.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
3		gropeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
4		grstructeld.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
5		grstructeld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
6		grstructeld2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝑆)
7		grstructeld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8		grstructeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	grstructd2dom 15898	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶)
10		sbcel1v 3094	. 2 ⊢ ([𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 ∈ 𝐶)
11	9, 10	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1395   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  [wsbc 3031   ∖ cdif 3197  ∅c0 3494  {csn 3669   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  2_oc2o 6575   ≼ cdom 6907  Basecbs 13081  .efcedgf 15854  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-dom 6910  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865

This theorem is referenced by: (None)