Theorem grstructeld2dom 15845

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 is an element of an arbitrary class 𝐶, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) is an element of this class 𝐶. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropeld.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
gropeld.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropeld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructeld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructeld.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructeld2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝑆)
grstructeld.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructeld.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructeld2dom	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑔   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructeld2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gropeld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
2		gropeld.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
3		gropeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
4		grstructeld.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
5		grstructeld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
6		grstructeld2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝑆)
7		grstructeld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8		grstructeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	grstructd2dom 15843	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶)
10		sbcel1v 3091	. 2 ⊢ ([𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 ∈ 𝐶)
11	9, 10	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  [wsbc 3028   ∖ cdif 3194  ∅c0 3491  {csn 3666   class class class wbr 4082  dom cdm 4718  Fun wfun 5311  ‘cfv 5317  2_oc2o 6554   ≼ cdom 6884  Basecbs 13027  .efcedgf 15799  Vtxcvtx 15807  iEdgciedg 15808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-2o 6561  df-dom 6887  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-edgf 15800  df-vtx 15809  df-iedg 15810

This theorem is referenced by: (None)