Theorem ltbtwnnq 7528

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2489	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
2		ltbtwnnqq 7527	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
3		ltrelnq 7477	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	3	brel 4726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
5	4	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝑥 ∈ Q)
7	6	pm4.71ri 392	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
8	7	exbii 1627	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
9	1, 2, 8	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484   class class class wbr 4043  Qcnq 7392   <_Q cltq 7397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-lti 7419  df-plpq 7456  df-mpq 7457  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461  df-mqqs 7462  df-1nqqs 7463  df-rq 7464  df-ltnqqs 7465

This theorem is referenced by: (None)