Theorem ltbtwnnqq 7247

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnqq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7197	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4599	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 111	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
4		ltexnqi 7241	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5		nsmallnq 7245	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
6	1	brel 4599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
7	6	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
8		ltaddnq 7239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
9	7, 8	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
10	9	ancoms 266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12		ltanqi 7234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14		breq2 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
15	14	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
16	13, 15	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17		addclnq 7207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
18	7, 17	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
19	18	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21		breq2 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
23	21, 22	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
24	23	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
25	20, 24	rspcedv 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
26	11, 16, 25	mp2and 430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27	26	3impa 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	27	3coml 1189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	28	3expia 1184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
30	29	exlimdv 1792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	5, 30	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	31	impancom 258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	32	rexlimdva 2552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
34	3, 4, 33	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
35		ltsonq 7230	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
36	35, 1	sotri 4942	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
37	36	rexlimivw 2548	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
38	34, 37	impbii 125	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  Qcnq 7112   +_Q cplq 7114   <_Q cltq 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7248  nqprrnd  7375  appdivnq  7395  ltnqpr  7425  ltnqpri  7426  recexprlemopl  7457  recexprlemopu  7459  cauappcvgprlemopl  7478  cauappcvgprlemopu  7480  cauappcvgprlem2  7492  caucvgprlemopl  7501  caucvgprlemopu  7503  caucvgprlem2  7512  suplocexprlemru  7551  suplocexprlemloc  7553