ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnqq GIF version

Theorem ltbtwnnqq 7405
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7355 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4675 . . . 4 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
32simpld 112 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
4 ltexnqi 7399 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5 nsmallnq 7403 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
61brel 4675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧Q𝑦Q))
76simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 <Q 𝑦𝑧Q)
8 ltaddnq 7397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
97, 8sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
109ancoms 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
1110adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12 ltanqi 7392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
1312adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1613, 15mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴Q𝑧Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
187, 17sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
1918ancoms 268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
2321, 22anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2423adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2520, 24rspcedv 2845 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
2611, 16, 25mp2and 433 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
27263impa 1194 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
28273coml 1210 . . . . . . . 8 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
29283expia 1205 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3029exlimdv 1819 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
315, 30syl5 32 . . . . 5 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3231impancom 260 . . . 4 ((𝐴Q𝑦Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3332rexlimdva 2594 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
343, 4, 33sylc 62 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
35 ltsonq 7388 . . . 4 <Q Or Q
3635, 1sotri 5020 . . 3 ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3736rexlimivw 2590 . 2 (∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3834, 37impbii 126 1 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  Qcnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7406  nqprrnd  7533  appdivnq  7553  ltnqpr  7583  ltnqpri  7584  recexprlemopl  7615  recexprlemopu  7617  cauappcvgprlemopl  7636  cauappcvgprlemopu  7638  cauappcvgprlem2  7650  caucvgprlemopl  7659  caucvgprlemopu  7661  caucvgprlem2  7670  suplocexprlemru  7709  suplocexprlemloc  7711
  Copyright terms: Public domain W3C validator