Theorem ltbtwnnqq 7482

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnqq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7432	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4715	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
4		ltexnqi 7476	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5		nsmallnq 7480	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
6	1	brel 4715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
7	6	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
8		ltaddnq 7474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12		ltanqi 7469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
16	13, 15	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17		addclnq 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
18	7, 17	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
23	21, 22	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
25	20, 24	rspcedv 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
26	11, 16, 25	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27	26	3impa 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	27	3coml 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	28	3expia 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
30	29	exlimdv 1833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	5, 30	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	31	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	32	rexlimdva 2614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
34	3, 4, 33	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
35		ltsonq 7465	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
36	35, 1	sotri 5065	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
37	36	rexlimivw 2610	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
38	34, 37	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  Qcnq 7347   +_Q cplq 7349   <_Q cltq 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7483  nqprrnd  7610  appdivnq  7630  ltnqpr  7660  ltnqpri  7661  recexprlemopl  7692  recexprlemopu  7694  cauappcvgprlemopl  7713  cauappcvgprlemopu  7715  cauappcvgprlem2  7727  caucvgprlemopl  7736  caucvgprlemopu  7738  caucvgprlem2  7747  suplocexprlemru  7786  suplocexprlemloc  7788