ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnqq GIF version

Theorem ltbtwnnqq 7377
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7327 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4663 . . . 4 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
32simpld 111 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
4 ltexnqi 7371 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5 nsmallnq 7375 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
61brel 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧Q𝑦Q))
76simpld 111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 <Q 𝑦𝑧Q)
8 ltaddnq 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
97, 8sylan2 284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
109ancoms 266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
1110adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12 ltanqi 7364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
1312adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14 breq2 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1514adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1613, 15mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17 addclnq 7337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴Q𝑧Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
187, 17sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
1918ancoms 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
2019adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21 breq2 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
2321, 22anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2423adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2520, 24rspcedv 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
2611, 16, 25mp2and 431 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
27263impa 1189 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
28273coml 1205 . . . . . . . 8 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
29283expia 1200 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3029exlimdv 1812 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
315, 30syl5 32 . . . . 5 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3231impancom 258 . . . 4 ((𝐴Q𝑦Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3332rexlimdva 2587 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
343, 4, 33sylc 62 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
35 ltsonq 7360 . . . 4 <Q Or Q
3635, 1sotri 5006 . . 3 ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3736rexlimivw 2583 . 2 (∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3834, 37impbii 125 1 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  Qcnq 7242   +Q cplq 7244   <Q cltq 7247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7378  nqprrnd  7505  appdivnq  7525  ltnqpr  7555  ltnqpri  7556  recexprlemopl  7587  recexprlemopu  7589  cauappcvgprlemopl  7608  cauappcvgprlemopu  7610  cauappcvgprlem2  7622  caucvgprlemopl  7631  caucvgprlemopu  7633  caucvgprlem2  7642  suplocexprlemru  7681  suplocexprlemloc  7683
  Copyright terms: Public domain W3C validator