ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnqq GIF version

Theorem ltbtwnnqq 7414
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7364 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4679 . . . 4 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
32simpld 112 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
4 ltexnqi 7408 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5 nsmallnq 7412 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
61brel 4679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧Q𝑦Q))
76simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 <Q 𝑦𝑧Q)
8 ltaddnq 7406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
97, 8sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
109ancoms 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
1110adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12 ltanqi 7401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
1312adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14 breq2 4008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1613, 15mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17 addclnq 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴Q𝑧Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
187, 17sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
1918ancoms 268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21 breq2 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
2321, 22anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2423adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2520, 24rspcedv 2846 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
2611, 16, 25mp2and 433 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
27263impa 1194 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
28273coml 1210 . . . . . . . 8 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
29283expia 1205 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3029exlimdv 1819 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
315, 30syl5 32 . . . . 5 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3231impancom 260 . . . 4 ((𝐴Q𝑦Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3332rexlimdva 2594 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
343, 4, 33sylc 62 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
35 ltsonq 7397 . . . 4 <Q Or Q
3635, 1sotri 5025 . . 3 ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3736rexlimivw 2590 . 2 (∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3834, 37impbii 126 1 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  Qcnq 7279   +Q cplq 7281   <Q cltq 7284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7415  nqprrnd  7542  appdivnq  7562  ltnqpr  7592  ltnqpri  7593  recexprlemopl  7624  recexprlemopu  7626  cauappcvgprlemopl  7645  cauappcvgprlemopu  7647  cauappcvgprlem2  7659  caucvgprlemopl  7668  caucvgprlemopu  7670  caucvgprlem2  7679  suplocexprlemru  7718  suplocexprlemloc  7720
  Copyright terms: Public domain W3C validator