ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnqq GIF version

Theorem ltbtwnnqq 7071
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7021 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4519 . . . 4 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
32simpld 111 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
4 ltexnqi 7065 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5 nsmallnq 7069 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
61brel 4519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧Q𝑦Q))
76simpld 111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 <Q 𝑦𝑧Q)
8 ltaddnq 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
97, 8sylan2 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
109ancoms 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
1110adantr 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12 ltanqi 7058 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
1312adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14 breq2 3871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1514adantl 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
1613, 15mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17 addclnq 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴Q𝑧Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
187, 17sylan2 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴Q𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
1918ancoms 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
2019adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21 breq2 3871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22 breq1 3870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
2321, 22anbi12d 458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2423adantl 272 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
2520, 24rspcedv 2740 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
2611, 16, 25mp2and 425 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
27263impa 1141 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
28273coml 1153 . . . . . . . 8 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
29283expia 1148 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3029exlimdv 1754 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
315, 30syl5 32 . . . . 5 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3231impancom 257 . . . 4 ((𝐴Q𝑦Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
3332rexlimdva 2502 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑦Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
343, 4, 33sylc 62 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
35 ltsonq 7054 . . . 4 <Q Or Q
3635, 1sotri 4860 . . 3 ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3736rexlimivw 2498 . 2 (∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
3834, 37impbii 125 1 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  wrex 2371   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  Qcnq 6936   +Q cplq 6938   <Q cltq 6941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7072  nqprrnd  7199  appdivnq  7219  ltnqpr  7249  ltnqpri  7250  recexprlemopl  7281  recexprlemopu  7283  cauappcvgprlemopl  7302  cauappcvgprlemopu  7304  cauappcvgprlem2  7316  caucvgprlemopl  7325  caucvgprlemopu  7327  caucvgprlem2  7336
  Copyright terms: Public domain W3C validator