Theorem ltbtwnnqq 7530

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnqq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7480	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4728	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
4		ltexnqi 7524	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5		nsmallnq 7528	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
6	1	brel 4728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
7	6	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
8		ltaddnq 7522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12		ltanqi 7517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14		breq2 4049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
16	13, 15	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17		addclnq 7490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
18	7, 17	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21		breq2 4049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22		breq1 4048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
23	21, 22	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
25	20, 24	rspcedv 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
26	11, 16, 25	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27	26	3impa 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	27	3coml 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	28	3expia 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
30	29	exlimdv 1842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	5, 30	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	31	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	32	rexlimdva 2623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
34	3, 4, 33	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
35		ltsonq 7513	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
36	35, 1	sotri 5079	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
37	36	rexlimivw 2619	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
38	34, 37	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  ∃wrex 2485   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946  Qcnq 7395   +_Q cplq 7397   <_Q cltq 7400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7531  nqprrnd  7658  appdivnq  7678  ltnqpr  7708  ltnqpri  7709  recexprlemopl  7740  recexprlemopu  7742  cauappcvgprlemopl  7761  cauappcvgprlemopu  7763  cauappcvgprlem2  7775  caucvgprlemopl  7784  caucvgprlemopu  7786  caucvgprlem2  7795  suplocexprlemru  7834  suplocexprlemloc  7836