Theorem ltbtwnnqq 7746

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnqq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnqq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7696	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4807	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
4		ltexnqi 7740	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
5		nsmallnq 7744	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
6	1	brel 4807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
7	6	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
8		ltaddnq 7738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
12		ltanqi 7733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
14		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦) ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
16	13, 15	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
17		addclnq 7706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
18	7, 17	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑧) ∈ Q)
21		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
22		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
23	21, 22	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧)) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
25	20, 24	rspcedv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
26	11, 16, 25	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
27	26	3impa 1221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
28	27	3coml 1237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	28	3expia 1232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
30	29	exlimdv 1868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	5, 30	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	31	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	32	rexlimdva 2662	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
34	3, 4, 33	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
35		ltsonq 7729	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
36	35, 1	sotri 5163	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
37	36	rexlimivw 2658	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
38	34, 37	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  Qcnq 7611   +_Q cplq 7613   <_Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  7747  nqprrnd  7874  appdivnq  7894  ltnqpr  7924  ltnqpri  7925  recexprlemopl  7956  recexprlemopu  7958  cauappcvgprlemopl  7977  cauappcvgprlemopu  7979  cauappcvgprlem2  7991  caucvgprlemopl  8000  caucvgprlemopu  8002  caucvgprlem2  8011  suplocexprlemru  8050  suplocexprlemloc  8052