Theorem mgpbas 14332

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	basmex 13470	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4	3	basm 13472	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑀)
5		fnmgp 14326	. . . . . . . . 9 ⊢ mulGrp Fn V
6		fnrel 5482	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp Fn V → Rel mulGrp)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Rel mulGrp
8		relelfvdm 5730	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel mulGrp ∧ 𝑤 ∈ (mulGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ dom mulGrp)
9	7, 8	mpan 428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (mulGrp‘𝑅) → 𝑅 ∈ dom mulGrp)
10		mgpbas.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11	9, 10	eleq2s 2333	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑀 → 𝑅 ∈ dom mulGrp)
12	11	exlimiv 1651	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑀 → 𝑅 ∈ dom mulGrp)
13	4, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑅 ∈ dom mulGrp)
14	13	elexd 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑅 ∈ V)
15	10, 1	mgpbasg 14331	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝑀))
16	15	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
17	2, 14, 16	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
18	17	eqriv 2235	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  dom cdm 4776  Rel wrel 4781   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  Basecbs 13410  mulGrpcmgp 14324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-mgp 14325

This theorem is used by:  assamulgscmlem1  15150  assamulgscmlem2  15151