Theorem mulext 8945

Description: Strong extensionality for multiplication. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 6094. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulext	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem mulext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 8347	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4		simprl 535	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		simprr 537	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 8347	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	4, 2	mulcld 8347	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
8		apcotr 8938	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ∨ (𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵))))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ∨ (𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵))))
10		mulext1 8943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 # 𝐶))
11	1, 4, 2, 10	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 # 𝐶))
12		mulext2 8944	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐷 # 𝐵))
13	5, 2, 4, 12	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐷 # 𝐵))
14		apsym 8937	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐷))
15	5, 2, 14	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐷))
16	13, 15	sylibd 149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐵 # 𝐷))
17	11, 16	orim12d 798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ∨ (𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
18	9, 17	syld 45	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   · cmul 8185   # cap 8912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913

This theorem is used by:  mulap0r  8946  lt2msq  9219  apexp1  11172  absext  11845