Theorem mulext 8533

Description: Strong extensionality for multiplication. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5862. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulext	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem mulext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simplr 525	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 7940	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4		simprl 526	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 7940	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	4, 2	mulcld 7940	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
8		apcotr 8526	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ∨ (𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵))))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ∨ (𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵))))
10		mulext1 8531	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 # 𝐶))
11	1, 4, 2, 10	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 # 𝐶))
12		mulext2 8532	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐷 # 𝐵))
13	5, 2, 4, 12	syl3anc 1233	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐷 # 𝐵))
14		apsym 8525	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐷))
15	5, 2, 14	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐷))
16	13, 15	sylibd 148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵) → 𝐵 # 𝐷))
17	11, 16	orim12d 781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ∨ (𝐶 · 𝐷) # (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
18	9, 17	syld 45	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐶 · 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   · cmul 7779   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  mulap0r  8534  lt2msq  8802  apexp1  10652  absext  11027