Theorem mulap0r 8504

Description: A product apart from zero. Lemma 2.13 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulap0r	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Proof of Theorem mulap0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
2		simp2 987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	mul02d 8281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 · 𝐵) = 0)
4	1, 3	breqtrrd 4004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵))
5		simp1 986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cnd 7883	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 ∈ ℂ)
7		mulext 8503	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
8	5, 2, 6, 2, 7	syl22anc 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
9	4, 8	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵))
10	9	orcomd 719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0))
11		apirr 8494	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ¬ 𝐵 # 𝐵)
12		biorf 734	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
13	2, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
14	10, 13	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
15	5	mul01d 8282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 0) = 0)
16	1, 15	breqtrrd 4004	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0))
17		mulext 8503	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
18	5, 2, 5, 6, 17	syl22anc 1228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
19	16, 18	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0))
20		apirr 8494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
21		biorf 734	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐴 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
22	5, 20, 21	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
23	19, 22	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
24	14, 23	jca 304	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 967   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  0cc0 7744   · cmul 7749   # cap 8470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-ltxr 7929  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471

This theorem is referenced by:  msqge0  8505  mulge0  8508  mulap0b  8543