Theorem mulap0r 8513

Description: A product apart from zero. Lemma 2.13 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulap0r	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Proof of Theorem mulap0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
2		simp2 988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	mul02d 8290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 · 𝐵) = 0)
4	1, 3	breqtrrd 4010	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵))
5		simp1 987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cnd 7892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 ∈ ℂ)
7		mulext 8512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
8	5, 2, 6, 2, 7	syl22anc 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
9	4, 8	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵))
10	9	orcomd 719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0))
11		apirr 8503	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ¬ 𝐵 # 𝐵)
12		biorf 734	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
13	2, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
14	10, 13	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
15	5	mul01d 8291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 0) = 0)
16	1, 15	breqtrrd 4010	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0))
17		mulext 8512	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
18	5, 2, 5, 6, 17	syl22anc 1229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
19	16, 18	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0))
20		apirr 8503	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
21		biorf 734	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐴 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
22	5, 20, 21	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
23	19, 22	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
24	14, 23	jca 304	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753   · cmul 7758   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  msqge0  8514  mulge0  8517  mulap0b  8552