Theorem mulap0r 8695

Description: A product apart from zero. Lemma 2.13 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulap0r	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Proof of Theorem mulap0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
2		simp2 1001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	mul02d 8471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 · 𝐵) = 0)
4	1, 3	breqtrrd 4075	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵))
5		simp1 1000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cnd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 ∈ ℂ)
7		mulext 8694	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
8	5, 2, 6, 2, 7	syl22anc 1251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (0 · 𝐵) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵)))
9	4, 8	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 𝐵))
10	9	orcomd 731	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0))
11		apirr 8685	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ¬ 𝐵 # 𝐵)
12		biorf 746	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
13	2, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐵 # 𝐵 ∨ 𝐴 # 0)))
14	10, 13	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
15	5	mul01d 8472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 0) = 0)
16	1, 15	breqtrrd 4075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0))
17		mulext 8694	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
18	5, 2, 5, 6, 17	syl22anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ((𝐴 · 𝐵) # (𝐴 · 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
19	16, 18	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0))
20		apirr 8685	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
21		biorf 746	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐴 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
22	5, 20, 21	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 𝐴 ∨ 𝐵 # 0)))
23	19, 22	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
24	14, 23	jca 306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932   · cmul 7937   # cap 8661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662

This theorem is referenced by:  msqge0  8696  mulge0  8699  mulap0b  8735