Theorem negsubd 8606

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   + caddc 8146   − cmin 8460  -cneg 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  mulsub  8691  apsub1  8933  divsubdirap  8999  divsubdivap  9019  div2subap  9128  ofnegsub  9253  zaddcllemneg  9633  icoshftf1o  10343  fzosubel  10561  ceiqm1l  10697  modqcyc2  10746  qnegmod  10755  modqsub12d  10767  modsumfzodifsn  10782  expaddzaplem  10968  binom2sub  11039  seq3shft  11548  cjreb  11576  recj  11577  remullem  11581  imcj  11585  resqrexlemover  11720  resqrexlemcalc1  11724  resqrexlemcalc3  11726  bdtri  11950  subcn2  12021  fsumshftm  12156  fsumsub  12163  geosergap  12217  efmival  12444  cosadd  12448  sinsub  12451  sincossq  12459  cos12dec  12479  moddvds  12510  dvdsadd2b  12551  pythagtriplem4  12991  mulgdirlem  13906  mulgmodid  13914  mulgsubdir  13915  gsumfzconst  14094  dvmptsubcn  15714  cosq34lt1  15841  rpcxpsub  15899  rpabscxpbnd  15931  rprelogbdiv  15948  lgseisenlem1  16069  2sqlem4  16117  apdifflemr  16957