Theorem negsubd 8343

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877   + caddc 7882   − cmin 8197  -cneg 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200

This theorem is referenced by:  mulsub  8427  apsub1  8669  divsubdirap  8735  divsubdivap  8755  div2subap  8864  ofnegsub  8989  zaddcllemneg  9365  icoshftf1o  10066  fzosubel  10270  ceiqm1l  10403  modqcyc2  10452  qnegmod  10461  modqsub12d  10473  modsumfzodifsn  10488  expaddzaplem  10674  binom2sub  10745  seq3shft  11003  cjreb  11031  recj  11032  remullem  11036  imcj  11040  resqrexlemover  11175  resqrexlemcalc1  11179  resqrexlemcalc3  11181  bdtri  11405  subcn2  11476  fsumshftm  11610  fsumsub  11617  geosergap  11671  efmival  11898  cosadd  11902  sinsub  11905  sincossq  11913  cos12dec  11933  moddvds  11964  dvdsadd2b  12005  pythagtriplem4  12437  mulgdirlem  13283  mulgmodid  13291  mulgsubdir  13292  gsumfzconst  13471  dvmptsubcn  14959  cosq34lt1  15086  rpcxpsub  15144  rpabscxpbnd  15176  rprelogbdiv  15193  lgseisenlem1  15311  2sqlem4  15359  apdifflemr  15691