Theorem negsubd 8538

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073   + caddc 8078   − cmin 8392  -cneg 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-neg 8395

This theorem is referenced by:  mulsub  8622  apsub1  8864  divsubdirap  8930  divsubdivap  8950  div2subap  9059  ofnegsub  9184  zaddcllemneg  9562  icoshftf1o  10270  fzosubel  10485  ceiqm1l  10619  modqcyc2  10668  qnegmod  10677  modqsub12d  10689  modsumfzodifsn  10704  expaddzaplem  10890  binom2sub  10961  seq3shft  11461  cjreb  11489  recj  11490  remullem  11494  imcj  11498  resqrexlemover  11633  resqrexlemcalc1  11637  resqrexlemcalc3  11639  bdtri  11863  subcn2  11934  fsumshftm  12069  fsumsub  12076  geosergap  12130  efmival  12357  cosadd  12361  sinsub  12364  sincossq  12372  cos12dec  12392  moddvds  12423  dvdsadd2b  12464  pythagtriplem4  12904  mulgdirlem  13803  mulgmodid  13811  mulgsubdir  13812  gsumfzconst  13991  dvmptsubcn  15517  cosq34lt1  15644  rpcxpsub  15702  rpabscxpbnd  15734  rprelogbdiv  15751  lgseisenlem1  15872  2sqlem4  15920  apdifflemr  16762