Theorem negsubd 8371

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8302	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  ℂcc 7905   + caddc 7910   − cmin 8225  -cneg 8226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-neg 8228

This theorem is referenced by:  mulsub  8455  apsub1  8697  divsubdirap  8763  divsubdivap  8783  div2subap  8892  ofnegsub  9017  zaddcllemneg  9393  icoshftf1o  10095  fzosubel  10304  ceiqm1l  10437  modqcyc2  10486  qnegmod  10495  modqsub12d  10507  modsumfzodifsn  10522  expaddzaplem  10708  binom2sub  10779  seq3shft  11068  cjreb  11096  recj  11097  remullem  11101  imcj  11105  resqrexlemover  11240  resqrexlemcalc1  11244  resqrexlemcalc3  11246  bdtri  11470  subcn2  11541  fsumshftm  11675  fsumsub  11682  geosergap  11736  efmival  11963  cosadd  11967  sinsub  11970  sincossq  11978  cos12dec  11998  moddvds  12029  dvdsadd2b  12070  pythagtriplem4  12510  mulgdirlem  13407  mulgmodid  13415  mulgsubdir  13416  gsumfzconst  13595  dvmptsubcn  15113  cosq34lt1  15240  rpcxpsub  15298  rpabscxpbnd  15330  rprelogbdiv  15347  lgseisenlem1  15465  2sqlem4  15513  apdifflemr  15850