Theorem negsubd 8633

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8564	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   + caddc 8172   − cmin 8487  -cneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  mulsub  8718  apsub1  8960  divsubdirap  9028  divsubdivap  9048  div2subap  9157  ofnegsub  9282  zaddcllemneg  9662  icoshftf1o  10372  fzosubel  10590  ceiqm1l  10726  modqcyc2  10775  qnegmod  10784  modqsub12d  10796  modsumfzodifsn  10811  expaddzaplem  10997  binom2sub  11068  seq3shft  11581  cjreb  11609  recj  11610  remullem  11614  imcj  11618  resqrexlemover  11754  resqrexlemcalc1  11758  resqrexlemcalc3  11760  bdtri  11984  subcn2  12055  fsumshftm  12190  fsumsub  12197  geosergap  12251  efmival  12478  cosadd  12482  sinsub  12485  sincossq  12493  cos12dec  12513  moddvds  12544  dvdsadd2b  12585  pythagtriplem4  13025  mulgdirlem  13933  mulgmodid  13941  mulgsubdir  13942  gzsumconst  14120  dvmptsubcn  15747  cosq34lt1  15874  rpcxpsub  15933  rpabscxpbnd  15965  rprelogbdiv  15982  lgseisenlem1  16103  2sqlem4  16151  dichmul0orlem6  16672  apdifflemr  17001