Theorem negsubd 8362

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896   + caddc 7901   − cmin 8216  -cneg 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219

This theorem is referenced by:  mulsub  8446  apsub1  8688  divsubdirap  8754  divsubdivap  8774  div2subap  8883  ofnegsub  9008  zaddcllemneg  9384  icoshftf1o  10085  fzosubel  10289  ceiqm1l  10422  modqcyc2  10471  qnegmod  10480  modqsub12d  10492  modsumfzodifsn  10507  expaddzaplem  10693  binom2sub  10764  seq3shft  11022  cjreb  11050  recj  11051  remullem  11055  imcj  11059  resqrexlemover  11194  resqrexlemcalc1  11198  resqrexlemcalc3  11200  bdtri  11424  subcn2  11495  fsumshftm  11629  fsumsub  11636  geosergap  11690  efmival  11917  cosadd  11921  sinsub  11924  sincossq  11932  cos12dec  11952  moddvds  11983  dvdsadd2b  12024  pythagtriplem4  12464  mulgdirlem  13361  mulgmodid  13369  mulgsubdir  13370  gsumfzconst  13549  dvmptsubcn  15067  cosq34lt1  15194  rpcxpsub  15252  rpabscxpbnd  15284  rprelogbdiv  15301  lgseisenlem1  15419  2sqlem4  15467  apdifflemr  15804