ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negsubd GIF version

Theorem negsubd 8251
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubd (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 8182 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2anc 411 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5868  cc 7787   + caddc 7792  cmin 8105  -cneg 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-setind 4532  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-sub 8107  df-neg 8108
This theorem is referenced by:  mulsub  8335  apsub1  8576  divsubdirap  8641  divsubdivap  8661  div2subap  8770  zaddcllemneg  9268  icoshftf1o  9965  fzosubel  10167  ceiqm1l  10284  modqcyc2  10333  qnegmod  10342  modqsub12d  10354  modsumfzodifsn  10369  expaddzaplem  10536  binom2sub  10606  seq3shft  10818  cjreb  10846  recj  10847  remullem  10851  imcj  10855  resqrexlemover  10990  resqrexlemcalc1  10994  resqrexlemcalc3  10996  bdtri  11219  subcn2  11290  fsumshftm  11424  fsumsub  11431  geosergap  11485  efmival  11712  cosadd  11716  sinsub  11719  sincossq  11727  cos12dec  11746  moddvds  11777  dvdsadd2b  11818  pythagtriplem4  12238  mulgdirlem  12889  mulgmodid  12897  mulgsubdir  12898  dvmptsubcn  13818  cosq34lt1  13904  rpcxpsub  13962  rpabscxpbnd  13992  rprelogbdiv  14008  2sqlem4  14087  apdifflemr  14418
  Copyright terms: Public domain W3C validator