ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm00 GIF version

Theorem nnm00 6530
Description: The product of two natural numbers is zero iff at least one of them is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnm00 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))

Proof of Theorem nnm00
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . . 7 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ๐ด = โˆ…)
2 simpl 109 . . . . . . 7 ((๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด = โˆ…)
31, 2jaoi 716 . . . . . 6 (((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ด = โˆ…)
43orcd 733 . . . . 5 (((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
54a1i 9 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ (((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
6 simpr 110 . . . . . . 7 ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ๐ต = โˆ…)
76olcd 734 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
87a1i 9 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
9 simplr 528 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
10 nnmordi 6516 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
1110expimpd 363 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
1211ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
13 nnm0 6475 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
1413adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
1514eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต) โ†” โˆ… โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
1612, 15sylibd 149 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
1716adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
1817imp 124 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))
19 n0i 3428 . . . . . . . 8 (โˆ… โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
2018, 19syl 14 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
219, 20pm2.21dd 620 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
2221ex 115 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
238, 22jaod 717 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ (((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
24 0elnn 4618 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด))
25 0elnn 4618 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ต))
2624, 25anim12i 338 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ต)))
27 anddi 821 . . . . . 6 (((๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ต)) โ†” (((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โˆจ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))))
2826, 27sylib 122 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โˆจ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))))
2928adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ (((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (๐ด = โˆ… โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต)) โˆจ ((โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = โˆ…) โˆจ (โˆ… โˆˆ ๐ด โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))))
305, 23, 29mpjaod 718 . . 3 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
3130ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
32 oveq1 5881 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
33 nnm0r 6479 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
3432, 33sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
3534ex 115 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3635adantl 277 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
37 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo โˆ…))
3837, 13sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
3938ex 115 . . . 4 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
4039adantr 276 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
4136, 40jaod 717 . 2 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
4231, 41impbid 129 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ…c0 3422  ฯ‰com 4589  (class class class)co 5874   ยทo comu 6414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421
This theorem is referenced by:  enq0tr  7432  nqnq0pi  7436
  Copyright terms: Public domain W3C validator