ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqi GIF version

Theorem ltexnqi 7240
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqi (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexnqi
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7196 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4598 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
3 ltexnqq 7239 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
43biimpd 143 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
52, 4mpcom 36 1 (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wrex 2418   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  Qcnq 7111   +Q cplq 7113   <Q cltq 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-mpq 7176  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-mqqs 7181  df-1nqqs 7182  df-ltnqqs 7184
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  7246  prnmaddl  7321  prmuloc  7397  ltexprlemm  7431  ltexprlemloc  7438  ltexprlemru  7443  addcanprlemu  7446  prplnqu  7451  aptiprleml  7470  aptiprlemu  7471  cauappcvgprlemloc  7483  caucvgprlemloc  7506  caucvgprprlemloc  7534
  Copyright terms: Public domain W3C validator