Theorem gt0ap0d 8957

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360   # cap 8909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910

This theorem is used by:  prodgt0gt0  9181  prodgt0  9182  ltdiv1  9198  ltmuldiv  9204  ledivmul  9207  lt2mul2div  9209  lemuldiv  9211  ltrec  9213  lerec  9214  ltrec1  9218  lerec2  9219  ledivdiv  9220  lediv2  9221  ltdiv23  9222  lediv23  9223  lediv12a  9224  recp1lt1  9229  ledivp1  9233  nnap0  9333  rpap0  10071  modq0  10766  mulqmod0  10767  negqmod0  10768  modqlt  10770  modqdiffl  10772  modqid0  10787  modqcyc  10796  modqmuladdnn0  10805  q2txmodxeq0  10821  modqdi  10829  ltexp2a  11028  leexp2a  11029  resq01  11095  expnbnd  11101  expcanlem  11153  expcan  11154  resqrexlemover  11776  resqrexlemcalc1  11780  resqrexlemcalc2  11781  ltabs  11853  divcnv  12264  expcnvre  12270  georeclim  12280  geoisumr  12285  cvgratnnlembern  12290  cvgratnnlemfm  12296  cvgratz  12299  cnopnap  15712  reeff1oleme  15873  tangtx  15939  pellexlem2  16092  mersenne  16111  perfectlem2  16114  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  dichmul0orlem5  16757  trirec0  17093  ltlenmkv  17120