Theorem gt0ap0d 8722

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8719	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ℝcr 7944  0cc0 7945   < clt 8127   # cap 8674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8944  prodgt0  8945  ltdiv1  8961  ltmuldiv  8967  ledivmul  8970  lt2mul2div  8972  lemuldiv  8974  ltrec  8976  lerec  8977  ltrec1  8981  lerec2  8982  ledivdiv  8983  lediv2  8984  ltdiv23  8985  lediv23  8986  lediv12a  8987  recp1lt1  8992  ledivp1  8996  nnap0  9085  rpap0  9812  modq0  10496  mulqmod0  10497  negqmod0  10498  modqlt  10500  modqdiffl  10502  modqid0  10517  modqcyc  10526  modqmuladdnn0  10535  q2txmodxeq0  10551  modqdi  10559  ltexp2a  10758  leexp2a  10759  expnbnd  10830  expcanlem  10882  expcan  10883  resqrexlemover  11396  resqrexlemcalc1  11400  resqrexlemcalc2  11401  ltabs  11473  divcnv  11883  expcnvre  11889  georeclim  11899  geoisumr  11904  cvgratnnlembern  11909  cvgratnnlemfm  11915  cvgratz  11918  cnopnap  15158  reeff1oleme  15319  tangtx  15385  mersenne  15544  perfectlem2  15547  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  trirec0  16124  ltlenmkv  16150