Theorem gt0ap0d 8772

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994  0cc0 7995   < clt 8177   # cap 8724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8994  prodgt0  8995  ltdiv1  9011  ltmuldiv  9017  ledivmul  9020  lt2mul2div  9022  lemuldiv  9024  ltrec  9026  lerec  9027  ltrec1  9031  lerec2  9032  ledivdiv  9033  lediv2  9034  ltdiv23  9035  lediv23  9036  lediv12a  9037  recp1lt1  9042  ledivp1  9046  nnap0  9135  rpap0  9862  modq0  10546  mulqmod0  10547  negqmod0  10548  modqlt  10550  modqdiffl  10552  modqid0  10567  modqcyc  10576  modqmuladdnn0  10585  q2txmodxeq0  10601  modqdi  10609  ltexp2a  10808  leexp2a  10809  expnbnd  10880  expcanlem  10932  expcan  10933  resqrexlemover  11516  resqrexlemcalc1  11520  resqrexlemcalc2  11521  ltabs  11593  divcnv  12003  expcnvre  12009  georeclim  12019  geoisumr  12024  cvgratnnlembern  12029  cvgratnnlemfm  12035  cvgratz  12038  cnopnap  15279  reeff1oleme  15440  tangtx  15506  mersenne  15665  perfectlem2  15668  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  trirec0  16371  ltlenmkv  16397