ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0ap0d GIF version

Theorem gt0ap0d 8384
Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of , not just *. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gt0ap0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
gt0ap0d (𝜑𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d
StepHypRef Expression
1 gt0ap0d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 gt0ap0d.2 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 gt0ap0 8381 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
41, 2, 3syl2anc 408 1 (𝜑𝐴 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480   class class class wbr 3924  cr 7612  0cc0 7613   < clt 7793   # cap 8336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337
This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8602  prodgt0  8603  ltdiv1  8619  ltmuldiv  8625  ledivmul  8628  lt2mul2div  8630  lemuldiv  8632  ltrec  8634  lerec  8635  ltrec1  8639  lerec2  8640  ledivdiv  8641  lediv2  8642  ltdiv23  8643  lediv23  8644  lediv12a  8645  recp1lt1  8650  ledivp1  8654  nnap0  8742  rpap0  9451  modq0  10095  mulqmod0  10096  negqmod0  10097  modqlt  10099  modqdiffl  10101  modqid0  10116  modqcyc  10125  modqmuladdnn0  10134  q2txmodxeq0  10150  modqdi  10158  ltexp2a  10338  leexp2a  10339  expnbnd  10408  expcanlem  10455  expcan  10456  resqrexlemover  10775  resqrexlemcalc1  10779  resqrexlemcalc2  10780  ltabs  10852  divcnv  11259  expcnvre  11265  georeclim  11275  geoisumr  11280  cvgratnnlembern  11285  cvgratnnlemfm  11291  cvgratz  11294  cnopnap  12748  tangtx  12904
  Copyright terms: Public domain W3C validator