Theorem gt0ap0d 8923

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  ℝcr 8144  0cc0 8145   < clt 8326   # cap 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  9147  prodgt0  9148  ltdiv1  9164  ltmuldiv  9170  ledivmul  9173  lt2mul2div  9175  lemuldiv  9177  ltrec  9179  lerec  9180  ltrec1  9184  lerec2  9185  ledivdiv  9186  lediv2  9187  ltdiv23  9188  lediv23  9189  lediv12a  9190  recp1lt1  9195  ledivp1  9199  nnap0  9288  rpap0  10026  modq0  10720  mulqmod0  10721  negqmod0  10722  modqlt  10724  modqdiffl  10726  modqid0  10741  modqcyc  10750  modqmuladdnn0  10759  q2txmodxeq0  10775  modqdi  10783  ltexp2a  10982  leexp2a  10983  resq01  11049  expnbnd  11055  expcanlem  11107  expcan  11108  resqrexlemover  11726  resqrexlemcalc1  11730  resqrexlemcalc2  11731  ltabs  11803  divcnv  12214  expcnvre  12220  georeclim  12230  geoisumr  12235  cvgratnnlembern  12240  cvgratnnlemfm  12246  cvgratz  12249  cnopnap  15607  reeff1oleme  15768  tangtx  15834  pellexlem2  15977  mersenne  15996  perfectlem2  15999  lgsquadlem1  16081  lgsquadlem2  16082  dichmul0orlem5  16642  trirec0  16969  ltlenmkv  16996