Theorem gt0ap0d 8960

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361   # cap 8912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913

This theorem is used by:  prodgt0gt0  9184  prodgt0  9185  ltdiv1  9201  ltmuldiv  9207  ledivmul  9210  lt2mul2div  9212  lemuldiv  9214  ltrec  9216  lerec  9217  ltrec1  9221  lerec2  9222  ledivdiv  9223  lediv2  9224  ltdiv23  9225  lediv23  9226  lediv12a  9227  recp1lt1  9232  ledivp1  9236  nnap0  9336  rpap0  10082  modq0  10781  mulqmod0  10782  negqmod0  10783  modqlt  10785  modqdiffl  10787  modqid0  10802  modqcyc  10811  modqmuladdnn0  10820  q2txmodxeq0  10836  modqdi  10844  ltexp2a  11043  leexp2a  11044  resq01  11110  expnbnd  11116  expcanlem  11169  expcan  11170  resqrexlemover  11792  resqrexlemcalc1  11796  resqrexlemcalc2  11797  ltabs  11870  divcnv  12283  expcnvre  12289  georeclim  12299  geoisumr  12304  cvgratnnlembern  12309  cvgratnnlemfm  12315  cvgratz  12318  cnopnap  15803  reeff1oleme  15964  tangtx  16031  logdivlt  16088  pellexlem2  16191  mersenne  16258  perfectlem2  16261  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  dichmul0orlem5  16923  trirec0  17260  ltlenmkv  17287