Theorem gt0ap0d 8947

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168  0cc0 8169   < clt 8350   # cap 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  9171  prodgt0  9172  ltdiv1  9188  ltmuldiv  9194  ledivmul  9197  lt2mul2div  9199  lemuldiv  9201  ltrec  9203  lerec  9204  ltrec1  9208  lerec2  9209  ledivdiv  9210  lediv2  9211  ltdiv23  9212  lediv23  9213  lediv12a  9214  recp1lt1  9219  ledivp1  9223  nnap0  9312  rpap0  10050  modq0  10744  mulqmod0  10745  negqmod0  10746  modqlt  10748  modqdiffl  10750  modqid0  10765  modqcyc  10774  modqmuladdnn0  10783  q2txmodxeq0  10799  modqdi  10807  ltexp2a  11006  leexp2a  11007  resq01  11073  expnbnd  11079  expcanlem  11131  expcan  11132  resqrexlemover  11754  resqrexlemcalc1  11758  resqrexlemcalc2  11759  ltabs  11831  divcnv  12242  expcnvre  12248  georeclim  12258  geoisumr  12263  cvgratnnlembern  12268  cvgratnnlemfm  12274  cvgratz  12277  cnopnap  15635  reeff1oleme  15796  tangtx  15862  pellexlem2  16006  mersenne  16025  perfectlem2  16028  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  dichmul0orlem5  16671  trirec0  16998  ltlenmkv  17025