Theorem ress0g 12776

Description: 0_g is unaffected by restriction. This is a bit more generic than submnd0 12777. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress0g.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress0g.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem ress0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress0g.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴))
3		ress0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		simp1 997	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
6		simp3 999	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	2, 4, 5, 6	ressbas2d 12520	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
8		eqidd 2178	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
9		basfn 12512	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
10	5	elexd 2750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
11		funfvex 5531	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	11	funfni 5315	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	3, 13	eqeltrid 2264	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
15	14, 6	ssexd 4142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
16	2, 8, 15, 5	ressplusgd 12579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
17		simp2 998	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 ∈ 𝐴)
18		simpl1 1000	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
19	6	sselda 3155	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		ress0g.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	3, 20, 21	mndlid 12768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
23	18, 19, 22	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
24	3, 20, 21	mndrid 12769	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅) 0 ) = 𝑥)
25	18, 19, 24	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(+g‘𝑅) 0 ) = 𝑥)
26	7, 16, 17, 23, 25	grpidd 12734	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129   Fn wfn 5210  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454   ↾_s cress 12455  +_gcplusg 12528  0_gc0g 12693  Mndcmnd 12749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750

This theorem is referenced by:  submnd0  12777  zring0  13359