Theorem ress0g 13275

Description: 0_g is unaffected by restriction. This is a bit more generic than submnd0 13276. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress0g.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress0g.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem ress0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress0g.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴))
3		ress0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		simp1 1000	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
6		simp3 1002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	2, 4, 5, 6	ressbas2d 12900	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
8		eqidd 2206	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
9		basfn 12890	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
10	5	elexd 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
11		funfvex 5593	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	11	funfni 5376	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	3, 13	eqeltrid 2292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
15	14, 6	ssexd 4184	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
16	2, 8, 15, 5	ressplusgd 12961	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
17		simp2 1001	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 ∈ 𝐴)
18		simpl1 1003	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
19	6	sselda 3193	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		ress0g.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	3, 20, 21	mndlid 13267	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
23	18, 19, 22	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
24	3, 20, 21	mndrid 13268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅) 0 ) = 𝑥)
25	18, 19, 24	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(+g‘𝑅) 0 ) = 𝑥)
26	7, 16, 17, 23, 25	grpidd 13215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ⊆ wss 3166   Fn wfn 5266  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  Basecbs 12832   ↾_s cress 12833  +_gcplusg 12909  0_gc0g 13088  Mndcmnd 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249

This theorem is referenced by:  submnd0  13276  zring0  14362