Theorem ringinvnz1ne0 13226

Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 ≠ 0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringinvnzdiv.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringinvnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringinvnzdiv.a	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
ringinvnz1ne0	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5883	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ))
2		ringinvnzdiv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringinvnzdiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		ringinvnzdiv.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		ringinvnzdiv.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	3, 4, 5	ringrz 13223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
8		eqeq12 2190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) ↔ 1 = 0 ))
9	8	biimpd 144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
10	9	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑎 · 0 ) = 0 → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 )))
11	7, 10	mpan9 281	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
12	1, 11	syl5 32	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 0 → 1 = 0 ))
13		oveq2 5883	. . . . 5 ⊢ ( 1 = 0 → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ))
14		ringinvnzdiv.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		ringinvnzdiv.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	3, 4, 15	ringridm 13207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
17	3, 4, 5	ringrz 13223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
18	16, 17	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
19	18	biimpd 144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
20	2, 14, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
21	20	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
22	13, 21	syl5 32	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 0 ))
23	12, 22	impbid 129	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 0 ↔ 1 = 0 ))
24		ringinvnzdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
25	23, 24	r19.29a 2620	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 1 = 0 ))
26	25	necon3bid 2388	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∃wrex 2456  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  ._rcmulr 12537  0_gc0g 12705  1_rcur 13142  Ringcrg 13179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-ring 13181

This theorem is referenced by: (None)