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Theorem ringinvnzdiv 13040
Description: In a unital ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6ringlidm 13019 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
82, 3, 7syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
98eqcomd 2183 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ( 1 · 𝑌))
109ad3antrrr 492 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11 oveq1 5875 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1211eqcoms 2180 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1312adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
142adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝐵)
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐵)
183adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐵)
1915, 17, 183jca 1177 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵))
2014, 19jca 306 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
224, 5ringass 13012 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2321, 22syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2413, 23eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2524adantr 276 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26 oveq2 5876 . . . . . . 7 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
284, 5, 27ringrz 13036 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
292, 28sylan 283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3029adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2214 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
3332exp31 364 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
3433rexlimdva 2594 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
351, 34mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
36 oveq2 5876 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
374, 5, 27ringrz 13036 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2232 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
4039ex 115 . 2 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
4135, 40impbid 129 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  .rcmulr 12506  0gc0g 12640  1rcur 12955  Ringcrg 12992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-mgp 12945  df-ur 12956  df-ring 12994
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