Theorem ringrz 13921

Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringrz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 13878	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		rngz.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13476	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2207	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 13478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	1, 4, 6	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	oveq2d 5983	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12, 12	3jca 1180	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
14		rngz.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	2, 5, 14	ringdi 13895	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
16	13, 15	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
17	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 14	ringcl 13890	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
19	12, 18	mpd3an3 1351	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
20	2, 5, 3	grplid 13478	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
21	20	eqcomd 2213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
22	17, 19, 21	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
23	9, 16, 22	3eqtr3d 2248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
24	2, 5	grprcan 13484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
25	17, 19, 12, 19, 24	syl13anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
26	23, 25	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Basecbs 12947  +_gcplusg 13024  ._rcmulr 13025  0_gc0g 13203  Grpcgrp 13447  Ringcrg 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-mgp 13798  df-ring 13875

This theorem is referenced by:  ringrzd  13923  ringsrg  13924  ringinvnz1ne0  13926  ringinvnzdiv  13927  ringnegr  13929  dvdsr02  13982  rrgeq0  14142  unitrrg  14144  domneq0  14149  lmodvs0  14199