ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringrz GIF version

Theorem ringrz 13036
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t · = (.r𝑅)
rngz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 12997 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngz.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rngz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 12781 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2177 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 12783 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 412 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
87adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98oveq2d 5884 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10 simpr 110 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
111, 4syl 14 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1211adantr 276 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 12, 123jca 1177 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
14 rngz.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
152, 5, 14ringdi 13014 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1613, 15syldan 282 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
171adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
182, 14ringcl 13009 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
1912, 18mpd3an3 1338 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
202, 5, 3grplid 12783 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2120eqcomd 2183 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2217, 19, 21syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
239, 16, 223eqtr3d 2218 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
242, 5grprcan 12787 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2517, 19, 12, 19, 24syl13anc 1240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2623, 25mpbid 147 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  .rcmulr 12506  0gc0g 12640  Grpcgrp 12754  Ringcrg 12992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-mgp 12945  df-ring 12994
This theorem is referenced by:  ringsrg  13037  ringinvnz1ne0  13039  ringinvnzdiv  13040  rngnegr  13042  dvdsr02  13086
  Copyright terms: Public domain W3C validator