ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ring1eq0 GIF version

Theorem ring1eq0 13230
Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring1eq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u 1 = (1r𝑅)
ring1eq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring1eq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 1 = 0𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
21oveq1d 5892 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = ( 0 (.r𝑅)𝑋))
31oveq1d 5892 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = ( 0 (.r𝑅)𝑌))
4 simpl1 1000 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋𝐵)
6 ring1eq0.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2177 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 ring1eq0.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
96, 7, 8ringlz 13227 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = 0 )
104, 5, 9syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = 0 )
11 simpl3 1002 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌𝐵)
126, 7, 8ringlz 13227 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑌) = 0 )
134, 11, 12syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑌) = 0 )
1410, 13eqtr4d 2213 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = ( 0 (.r𝑅)𝑌))
153, 14eqtr4d 2213 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = ( 0 (.r𝑅)𝑋))
162, 15eqtr4d 2213 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = ( 1 (.r𝑅)𝑌))
17 ring1eq0.u . . . . 5 1 = (1r𝑅)
186, 7, 17ringlidm 13211 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
194, 5, 18syl2anc 411 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
206, 7, 17ringlidm 13211 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
214, 11, 20syl2anc 411 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
2216, 19, 213eqtr3d 2218 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
2322ex 115 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 1 = 0𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  0gc0g 12710  1rcur 13147  Ringcrg 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186
This theorem is referenced by:  ringelnzr  13333  01eq0ring  13335
  Copyright terms: Public domain W3C validator