Theorem ringnegl 13888

Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegl	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringnegl.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 13857	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 13838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	2, 8	grpinvcl 13455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
10	7, 5, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 12, 13	ringdir 13856	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
15	1, 5, 10, 11, 14	syl13anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
16		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	2, 12, 16, 8	grprinv 13458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
18	7, 5, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq1d 5972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
20	2, 13, 16	ringlz 13880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
21	1, 11, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
23	2, 13, 3	ringlidm 13860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
24	1, 11, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq1d 5972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅))
27	2, 13	ringcl 13850	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
28	1, 10, 11, 27	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	2, 12, 16, 8	grpinvid1 13459	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
30	7, 11, 28, 29	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋))
32	31	eqcomd 2212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  0_gc0g 13163  Grpcgrp 13407  inv_gcminusg 13408  1_rcur 13796  Ringcrg 13833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835

This theorem is referenced by:  ringmneg1  13890  dvdsrneg  13940  lmodvsneg  14168  lmodsubvs  14180  lmodsubdi  14181  lmodsubdir  14182