Theorem ringnegl 14054

Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegl	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringnegl.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 14023	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 14004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	2, 8	grpinvcl 13621	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
10	7, 5, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 12, 13	ringdir 14022	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
15	1, 5, 10, 11, 14	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
16		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	2, 12, 16, 8	grprinv 13624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
18	7, 5, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq1d 6028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
20	2, 13, 16	ringlz 14046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
21	1, 11, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
23	2, 13, 3	ringlidm 14026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
24	1, 11, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq1d 6028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅))
27	2, 13	ringcl 14016	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
28	1, 10, 11, 27	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	2, 12, 16, 8	grpinvid1 13625	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
30	7, 11, 28, 29	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋))
32	31	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  ._rcmulr 13151  0_gc0g 13329  Grpcgrp 13573  inv_gcminusg 13574  1_rcur 13962  Ringcrg 13999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001

This theorem is referenced by:  ringmneg1  14056  dvdsrneg  14107  lmodvsneg  14335  lmodsubvs  14347  lmodsubdi  14348  lmodsubdir  14349