Theorem ringnegl 14128

Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegl	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringnegl.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 14097	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 14078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	2, 8	grpinvcl 13694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
10	7, 5, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 12, 13	ringdir 14096	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
15	1, 5, 10, 11, 14	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
16		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	2, 12, 16, 8	grprinv 13697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
18	7, 5, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
20	2, 13, 16	ringlz 14120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
21	1, 11, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
23	2, 13, 3	ringlidm 14100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
24	1, 11, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq1d 6043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅))
27	2, 13	ringcl 14090	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
28	1, 10, 11, 27	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	2, 12, 16, 8	grpinvid1 13698	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
30	7, 11, 28, 29	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋))
32	31	eqcomd 2237	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224  0_gc0g 13402  Grpcgrp 13646  inv_gcminusg 13647  1_rcur 14036  Ringcrg 14073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075

This theorem is referenced by:  ringmneg1  14130  dvdsrneg  14181  lmodvsneg  14410  lmodsubvs  14422  lmodsubdi  14423  lmodsubdir  14424