Theorem sralemg 14285

Description: Lemma for srabaseg 14286 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
sralemg.1	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
sralem.2	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
sralem.3	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
sralem.4	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
sralemg	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		basfn 12975	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
3	1	elexd 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5611	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5390	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
7		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
8	6, 7	ssexd 4195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
9		ressex 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
11		sralemg.1	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
12		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
13	12	necomi 2462	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
14		scaslid 13070	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
15	14	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
16	11, 13, 15	setsslnid 12969	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
17	1, 10, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
18	15	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
19		setsex 12949	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
20	1, 18, 10, 19	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
21		mulrslid 13049	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
22	21	slotex 12944	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (.r‘𝑊) ∈ V)
23	1, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) ∈ V)
24		sralem.3	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
25	24	necomi 2462	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
26		vscaslid 13080	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
27	26	simpri 113	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
28	11, 25, 27	setsslnid 12969	. . . 4 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
29	20, 23, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
30	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
31		setsex 12949	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
32	20, 30, 23, 31	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
33		sralem.4	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
34	33	necomi 2462	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
35		ipslid 13088	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
36	35	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ
37	11, 34, 36	setsslnid 12969	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
38	32, 23, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
39	17, 29, 38	3eqtrd 2243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
40		srapart.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
41		sraval 14284	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
42	1, 7, 41	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
43	40, 42	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
44	43	fveq2d 5598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
45	39, 44	eqtr4d 2242	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ⟨cop 3641   Fn wfn 5280  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  ℕcn 9066  ndxcnx 12914   sSet csts 12915  Slot cslot 12916  Basecbs 12917   ↾_s cress 12918  ._rcmulr 12995  Scalarcsca 12997   ·_𝑠 cvsca 12998  ·_𝑖cip 12999  subringAlg csra 14280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-iress 12925  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-ip 13012  df-sra 14282

This theorem is referenced by:  srabaseg  14286  sraaddgg  14287  sramulrg  14288  sratsetg  14292  sradsg  14295