Theorem sraipg 14890

Description: The inner product operation of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sraipg	⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (·𝑖‘𝐴))

Proof of Theorem sraipg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		scaslid 13566	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
5		basfn 13469	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
6	1	elexd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5486	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10		srapart.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
11	9, 10	ssexd 4275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
12		ressex 13477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
13	1, 11, 12	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
14		setsex 13442	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
15	1, 4, 13, 14	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
16		vscaslid 13576	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
17	16	simpri 113	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
19		mulrslid 13545	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	slotex 13437	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (.r‘𝑊) ∈ V)
21	1, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) ∈ V)
22		setsex 13442	. . . 4 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
23	15, 18, 21, 22	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
24		ipslid 13584	. . . 4 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
25	24	setsslid 13461	. . 3 ⊢ ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (.r‘𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
26	23, 21, 25	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
27		srapart.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
28		sraval 14883	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
29	6, 10, 28	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
30	27, 29	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
31	30	fveq2d 5702	. 2 ⊢ (𝜑 → (·𝑖‘𝐴) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
32	26, 31	eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (·𝑖‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℕcn 9313  ndxcnx 13407   sSet csts 13408  Slot cslot 13409  Basecbs 13410   ↾_s cress 13411  ._rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   ·_𝑠 cvsca 13494  ·_𝑖cip 13495  subringAlg csra 14879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-sra 14881

This theorem is used by: (None)