Theorem uhgrissubgr 16388

Description: The property of a hypergraph to be a subgraph. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrissubgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
uhgrissubgr.a	⊢ 𝐴 = (Vtx‘𝐺)
uhgrissubgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
uhgrissubgr.b	⊢ 𝐵 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrissubgr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → (𝑆 SubGraph 𝐺 ↔ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem uhgrissubgr

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrissubgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
2		uhgrissubgr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Vtx‘𝐺)
3		uhgrissubgr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
4		uhgrissubgr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	subgrprop2 16387	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉))
7		3simpa 1021	. . 3 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉) → (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
9		simprl 531	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)) → 𝑉 ⊆ 𝐴)
10		simp2 1025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → Fun 𝐵)
11		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12		funssres 5402	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)) → (𝐵 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
14	13	eqcomd 2240	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)) → 𝐼 = (𝐵 ↾ dom 𝐼))
15		edguhgr 16264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝑆)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆))
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ UHGraph → (𝑒 ∈ (Edg‘𝑆) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
17	1	pweqi 3679	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝑆)
18	17	eleq2i 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆))
19	16, 18	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ UHGraph → (𝑒 ∈ (Edg‘𝑆) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑉))
20	19	ssrdv 3248	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ UHGraph → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
21	20	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)) → (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)
23	1, 2, 3, 4, 5	issubgr 16384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → (𝑆 SubGraph 𝐺 ↔ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 = (𝐵 ↾ dom 𝐼) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)))
24	23	3adant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → (𝑆 SubGraph 𝐺 ↔ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 = (𝐵 ↾ dom 𝐼) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)))
25	24	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)) → (𝑆 SubGraph 𝐺 ↔ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 = (𝐵 ↾ dom 𝐼) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 𝑉)))
26	9, 14, 22, 25	mpbir3and 1207	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) ∧ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
27	26	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → ((𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → 𝑆 SubGraph 𝐺))
28	8, 27	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ Fun 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ UHGraph) → (𝑆 SubGraph 𝐺 ↔ (𝑉 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3675   class class class wbr 4115  dom cdm 4756   ↾ cres 4758  Fun wfun 5353  ‘cfv 5359  Vtxcvtx 16139  iEdgciedg 16140  Edgcedg 16184  UHGraphcuhgr 16194   SubGraph csubgr 16380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fo 5365  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-sub 8465  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-dec 9733  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-edgf 16132  df-vtx 16141  df-iedg 16142  df-edg 16185  df-uhgrm 16196  df-subgr 16381

This theorem is referenced by:  uhgrsubgrself  16393