Theorem usgredgssen 16386

Description: The set of edges of a simple graph is a subset of the set of proper unordered pairs of vertices. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgredgssen	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})

Distinct variable group:   𝑥,𝐺

Proof of Theorem usgredgssen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 16283	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	usgrfen 16384	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5		f1f 5596	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6		frn 5540	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
7	4, 5, 6	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
8	1, 7	eqsstrd 3284	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  ran crn 4773  ⟶wf 5371  –1-1→wf1 5372  ‘cfv 5375  2_oc2o 6675   ≈ cen 7014  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  Edgcedg 16281  USGraphcusgr 16378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-usgren 16380

This theorem is referenced by:  edgusgren  16387  usgrausgrien  16393