Theorem uzind4ALT 9663

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The last four hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are the basis and the induction step. Either uzind4 9662 or uzind4ALT 9663 may be used; see comment for nnind 9006. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4ALT.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4ALT.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
uzind4ALT.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4ALT.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4ALT.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4ALT.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
uzind4ALT	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzind4ALT.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		uzind4ALT.2	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		uzind4ALT.3	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		uzind4ALT.4	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		uzind4ALT.5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
6		uzind4ALT.6	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	uzind4 9662	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by: (None)