Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind4s GIF version

Theorem uzind4s 9378
 Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4s.1 (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
Assertion
Ref Expression
uzind4s (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s
Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsbcq2 2907 . 2 (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[𝑀 / 𝑘]𝜑))
2 sbequ 1812 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3 dfsbcq2 2907 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4 dfsbcq2 2907 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
5 uzind4s.1 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6 nfv 1508 . . . 4 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)
7 nfs1v 1910 . . . . 5 𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8 nfsbc1v 2922 . . . . 5 𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
97, 8nfim 1551 . . . 4 𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
106, 9nfim 1551 . . 3 𝑘(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11 eleq1 2200 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)))
12 sbequ12 1744 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13 oveq1 5774 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
1413sbceq1d 2909 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
1512, 14imbi12d 233 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
1611, 15imbi12d 233 . . 3 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17 uzind4s.2 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
1810, 16, 17chvar 1730 . 2 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
191, 2, 3, 4, 5, 18uzind4 9376 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  [wsb 1735  [wsbc 2904  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  1c1 7614   + caddc 7616  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator