Theorem uzind4s 9412

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4s.1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))

Assertion

Ref	Expression
uzind4s	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsbcq2 2916	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑀 / 𝑘]𝜑))
2		sbequ 1813	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3		dfsbcq2 2916	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4		dfsbcq2 2916	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))
5		uzind4s.1	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6		nfv 1509	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
7		nfs1v 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8		nfsbc1v 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
9	7, 8	nfim 1552	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
10	6, 9	nfim 1552	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11		eleq1 2203	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
12		sbequ12 1745	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13		oveq1 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
14	13	sbceq1d 2918	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑 ↔ [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
15	12, 14	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
16	11, 15	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17		uzind4s.2	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → [(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
18	10, 16, 17	chvar 1731	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑 → [(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
19	1, 2, 3, 4, 5, 18	uzind4 9410	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  [wsb 1736  [wsbc 2913  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  1c1 7645   + caddc 7647  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by: (None)