Theorem uzsubfz0 10342

Description: Membership of an integer greater than L decreased by L in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubfz0	⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem uzsubfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		eluznn0 9811	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		eluzle 9751	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝐿 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 10325	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
6	1, 2, 4, 5	syl3anbrc 1205	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...𝑁))
7		fznn0sub2 10341	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...𝑁))
8	6, 7	syl 14	1 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  0cc0 8015   ≤ cle 8198   − cmin 8333  ℕ₀cn0 9385  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222

This theorem is referenced by: (None)