Theorem uzsubfz0 10364

Description: Membership of an integer greater than L decreased by L in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubfz0	⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem uzsubfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		eluznn0 9833	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		eluzle 9768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝐿 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 10347	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
6	1, 2, 4, 5	syl3anbrc 1207	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...𝑁))
7		fznn0sub2 10363	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...𝑁))
8	6, 7	syl 14	1 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032   ≤ cle 8215   − cmin 8350  ℕ₀cn0 9402  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by: (None)