Theorem 0cmp 23287

Description: The singleton of the empty set is compact. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
0cmp	⊢ {∅} ∈ Comp

Proof of Theorem 0cmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 22892	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Top
2		snfi 9020	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
3	1, 2	elini 4170	. 2 ⊢ {∅} ∈ (Top ∩ Fin)
4		fincmp 23286	. 2 ⊢ ({∅} ∈ (Top ∩ Fin) → {∅} ∈ Comp)
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ {∅} ∈ Comp

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3921  ∅c0 4304  {csn 4597  Fincfn 8922  Topctop 22786  Compccmp 23279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-om 7851  df-1o 8443  df-en 8923  df-fin 8926  df-top 22787  df-topon 22804  df-cmp 23280

This theorem is referenced by:  fiuncmp  23297  xkouni  23492  icccmp  24720  zarcmplem  33879  ordcmp  36432