MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cmp 23222
Description: The singleton of the empty set is compact. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
0cmp {∅} ∈ Comp

Proof of Theorem 0cmp
StepHypRef Expression
1 sn0top 22826 . . 3 {∅} ∈ Top
2 snfi 9041 . . 3 {∅} ∈ Fin
31, 2elini 4186 . 2 {∅} ∈ (Top ∩ Fin)
4 fincmp 23221 . 2 ({∅} ∈ (Top ∩ Fin) → {∅} ∈ Comp)
53, 4ax-mp 5 1 {∅} ∈ Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  cin 3940  c0 4315  {csn 4621  Fincfn 8936  Topctop 22719  Compccmp 23214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-fin 8940  df-top 22720  df-topon 22737  df-cmp 23215
This theorem is referenced by:  fiuncmp  23232  xkouni  23427  icccmp  24665  zarcmplem  33353  ordcmp  35823
  Copyright terms: Public domain W3C validator