Theorem 0cmp 23418

Description: The singleton of the empty set is compact. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
0cmp	⊢ {∅} ∈ Comp

Proof of Theorem 0cmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 23022	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Top
2		snfi 9082	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
3	1, 2	elini 4209	. 2 ⊢ {∅} ∈ (Top ∩ Fin)
4		fincmp 23417	. 2 ⊢ ({∅} ∈ (Top ∩ Fin) → {∅} ∈ Comp)
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ {∅} ∈ Comp

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631  Fincfn 8984  Topctop 22915  Compccmp 23410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-top 22916  df-topon 22933  df-cmp 23411

This theorem is referenced by:  fiuncmp  23428  xkouni  23623  icccmp  24861  zarcmplem  33842  ordcmp  36430