Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atpsubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atpsubclN 39474
Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
1psubcl.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1psubcl.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atpsubclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ {𝑄} ∈ 𝐢)

Proof of Theorem atpsubclN
StepHypRef Expression
1 snssi 4807 . . 3 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ {𝑄} βŠ† 𝐴)
21adantl 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ {𝑄} βŠ† 𝐴)
3 1psubcl.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 eqid 2725 . . 3 (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ) = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
53, 42polatN 39461 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜{𝑄})) = {𝑄})
6 1psubcl.c . . . 4 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
73, 4, 6ispsubclN 39466 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ ({𝑄} ∈ 𝐢 ↔ ({𝑄} βŠ† 𝐴 ∧ ((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜{𝑄})) = {𝑄})))
87adantr 479 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑄} ∈ 𝐢 ↔ ({𝑄} βŠ† 𝐴 ∧ ((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜{𝑄})) = {𝑄})))
92, 5, 8mpbir2and 711 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ {𝑄} ∈ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  {csn 4624  β€˜cfv 6543  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  βŠ₯𝑃cpolN 39431  PSubClcpscN 39463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-pmap 39033  df-polarityN 39432  df-psubclN 39464
This theorem is referenced by:  pclfinclN  39479
  Copyright terms: Public domain W3C validator