Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atpsubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atpsubclN 36083
Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
1psubcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atpsubclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Proof of Theorem atpsubclN
StepHypRef Expression
1 snssi 4570 . . 3 (𝑄𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
21adantl 475 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
3 1psubcl.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2777 . . 3 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
53, 42polatN 36070 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})
6 1psubcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
73, 4, 6ispsubclN 36075 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
87adantr 474 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
92, 5, 8mpbir2and 703 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wss 3791  {csn 4397  cfv 6135  Atomscatm 35401  HLchlt 35488  𝑃cpolN 36040  PSubClcpscN 36072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35091
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-undef 7681  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-pmap 35642  df-polarityN 36041  df-psubclN 36073
This theorem is referenced by:  pclfinclN  36088
  Copyright terms: Public domain W3C validator