Theorem atpsubclN 37967

Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atpsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Proof of Theorem atpsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4741	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
3		1psubcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	2polatN 37954	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})
6		1psubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	3, 4, 6	ispsubclN 37959	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
8	7	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
9	2, 5, 8	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3886  {csn 4561  ‘cfv 6426  Atomscatm 37285  HLchlt 37372  ⊥_𝑃cpolN 37924  PSubClcpscN 37956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-riotaBAD 36975

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-undef 8076  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-pmap 37526  df-polarityN 37925  df-psubclN 37957

This theorem is referenced by:  pclfinclN  37972