Theorem atpsubclN 39932

Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atpsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Proof of Theorem atpsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4768	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
3		1psubcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	2polatN 39919	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})
6		1psubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	3, 4, 6	ispsubclN 39924	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
9	2, 5, 8	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  ⊥_𝑃cpolN 39889  PSubClcpscN 39921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-pmap 39491  df-polarityN 39890  df-psubclN 39922

This theorem is referenced by:  pclfinclN  39937