Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atpsubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atpsubclN 37151
Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
1psubcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atpsubclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Proof of Theorem atpsubclN
StepHypRef Expression
1 snssi 4725 . . 3 (𝑄𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
21adantl 485 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
3 1psubcl.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2824 . . 3 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
53, 42polatN 37138 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})
6 1psubcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
73, 4, 6ispsubclN 37143 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
87adantr 484 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
92, 5, 8mpbir2and 712 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  {csn 4549  cfv 6343  Atomscatm 36469  HLchlt 36556  𝑃cpolN 37108  PSubClcpscN 37140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-riotaBAD 36159
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-undef 7929  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36382  df-ol 36384  df-oml 36385  df-covers 36472  df-ats 36473  df-atl 36504  df-cvlat 36528  df-hlat 36557  df-pmap 36710  df-polarityN 37109  df-psubclN 37141
This theorem is referenced by:  pclfinclN  37156
  Copyright terms: Public domain W3C validator