Theorem atpsubclN 37241

Description: A point (singleton of an atom) is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atpsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Proof of Theorem atpsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4701	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
3		1psubcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	2polatN 37228	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})
6		1psubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	3, 4, 6	ispsubclN 37233	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
8	7	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ({𝑄} ∈ 𝐶 ↔ ({𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝑄})) = {𝑄})))
9	2, 5, 8	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → {𝑄} ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  ⊥_𝑃cpolN 37198  PSubClcpscN 37230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-undef 7922  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-pmap 36800  df-polarityN 37199  df-psubclN 37231

This theorem is referenced by:  pclfinclN  37246