Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem4 37927
Description: Lemma for 3dim1 37930. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))

Proof of Theorem 3dimlem4
StepHypRef Expression
1 simp2l 1199 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → 𝑃𝑄)
2 simp2r 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
3 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
5 simp12 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐴)
6 simp13 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
7 simp3l 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝑅)
87necomd 2999 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝑄)
9 3dim0.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 3dim0.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
11 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11hlatexch2 37859 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑅𝑄) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
133, 4, 5, 6, 8, 12syl131anc 1383 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1410, 11hlatjcom 37830 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
153, 6, 4, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
1615breq2d 5117 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1713, 16sylibrd 258 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑄 𝑅)))
18173ad2ant1 1133 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑄 𝑅)))
192, 18mtod 197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
20 simp11 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
21 simp12 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
22 simp13r 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
23 simp3 1138 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2410, 9, 113dimlem4a 37926 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2520, 21, 22, 2, 23, 24syl113anc 1382 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
261, 19, 253jca 1128 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  lecple 17140  joincjn 18200  Atomscatm 37725  HLchlt 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813
This theorem is referenced by:  3dim1  37930  3dim2  37931
  Copyright terms: Public domain W3C validator