Theorem acnen 9740

Description: The class of choice sets of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → AC 𝐴 = AC 𝐵)

Proof of Theorem acnen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8744	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 8722	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		acndom 9738	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 → 𝑥 ∈ AC 𝐵))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 → 𝑥 ∈ AC 𝐵))
5		endom 8722	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
6		acndom 9738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐵 → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐵 → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
8	4, 7	impbid 211	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ AC 𝐵))
9	8	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → AC 𝐴 = AC 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  AC wacn 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-fin 8695  df-acn 9631

This theorem is referenced by: (None)