Theorem acnen 9966

Description: The class of choice sets of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → AC 𝐴 = AC 𝐵)

Proof of Theorem acnen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 8911	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		acndom 9964	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 → 𝑥 ∈ AC 𝐵))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 → 𝑥 ∈ AC 𝐵))
5		endom 8911	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
6		acndom 9964	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐵 → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐵 → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
8	4, 7	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ AC 𝐵))
9	8	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → AC 𝐴 = AC 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877  AC wacn 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-fin 8883  df-acn 9857

This theorem is referenced by: (None)