Theorem acnen 10125

Description: The class of choice sets of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → AC 𝐴 = AC 𝐵)

Proof of Theorem acnen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 8999	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		acndom 10123	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 → 𝑥 ∈ AC 𝐵))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 → 𝑥 ∈ AC 𝐵))
5		endom 8999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
6		acndom 10123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐵 → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐵 → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
8	4, 7	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ AC 𝐵))
9	8	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → AC 𝐴 = AC 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964  AC wacn 10012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-acn 10016

This theorem is used by: (None)