MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acnen 9810
Description: The class of choice sets of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen (𝐴𝐵AC 𝐴 = AC 𝐵)

Proof of Theorem acnen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8772 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 endom 8750 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
3 acndom 9808 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑥AC 𝐴𝑥AC 𝐵))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑥AC 𝐴𝑥AC 𝐵))
5 endom 8750 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
6 acndom 9808 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝑥AC 𝐵𝑥AC 𝐴))
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑥AC 𝐵𝑥AC 𝐴))
84, 7impbid 211 . 2 (𝐴𝐵 → (𝑥AC 𝐴𝑥AC 𝐵))
98eqrdv 2738 1 (𝐴𝐵AC 𝐴 = AC 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cen 8713  cdom 8714  AC wacn 9697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-fin 8720  df-acn 9701
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator