Theorem addgegt0 11563

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addgegt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgegt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11251	. 2 ⊢ (0 + 0) = 0
2		0re 11078	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		leltadd 11560	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 + 0) < (𝐴 + 𝐵)))
4	2, 2, 3	mpanl12 699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 + 0) < (𝐴 + 𝐵)))
5	4	imp 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 + 0) < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 5	eqbrtrrid 5128	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  ℝcr 10971  0cc0 10972   + caddc 10975   < clt 11110   ≤ cle 11111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116

This theorem is referenced by:  addgegt0i  11617  addgegt0d  11649  recextlem2  11707  subfzo0  13610  mulcn2  15404  rpdp2cl  31443