Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpdp2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdp2cl 32599
Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rpdp2cl.a 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b 𝐵 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
rpdp2cl 𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl
StepHypRef Expression
1 df-dp2 32589 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 rpdp2cl.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0rei 12507 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
4 rpssre 13007 . . . . 5 + ⊆ ℝ
5 rpdp2cl.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
6 10nn 12717 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
7 nnrp 13011 . . . . . . 7 (10 ∈ ℕ → 10 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 13025 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ+)
105, 8, 9mp2an 691 . . . . 5 (𝐵 / 10) ∈ ℝ+
114, 10sselii 3975 . . . 4 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
12 readdcl 11215 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ)
133, 11, 12mp2an 691 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
143, 11pm3.2i 470 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
152nn0ge0i 12523 . . . . 5 0 ≤ 𝐴
16 rpgt0 13012 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / 10))
1710, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 < (𝐵 / 10)
1815, 17pm3.2i 470 . . . 4 (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / 10))
19 addgegt0 11725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / 10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2014, 18, 19mp2an 691 . . 3 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10))
21 elrp 13002 . . 3 ((𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10))))
2213, 20, 21mpbir2an 710 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ+
231, 22eqeltri 2824 1 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   < clt 11272  cle 11273   / cdiv 11895  cn 12236  0cn0 12496  cdc 12701  +crp 13000  cdp2 32588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-dec 12702  df-rp 13001  df-dp2 32589
This theorem is referenced by:  rpdpcl  32620  dpexpp1  32625  hgt750lemd  34270  hgt750lem  34273  hgt750lem2  34274  hgt750leme  34280
  Copyright terms: Public domain W3C validator