Theorem rpdp2cl 32856

Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpdp2cl.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
rpdp2cl	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32846	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		rpdp2cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12512	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		rpssre 13016	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpdp2cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
6		10nn 12724	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7		nnrp 13020	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℕ → ;10 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 13034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11	4, 10	sselii 3955	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
12		readdcl 11212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ)
13	3, 11, 12	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
14	3, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
15	2	nn0ge0i 12528	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 𝐴
16		rpgt0 13021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / ;10))
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐵 / ;10)
18	15, 17	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))
19		addgegt0 11724	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
20	14, 18, 19	mp2an 692	. . 3 ⊢ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		elrp 13010	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))))
22	13, 20, 21	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+
23	1, 22	eqeltri 2830	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ;cdc 12708  ℝ⁺crp 13008  _cdp2 32845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-dec 12709  df-rp 13009  df-dp2 32846

This theorem is referenced by:  rpdpcl  32877  dpexpp1  32882  hgt750lemd  34680  hgt750lem  34683  hgt750lem2  34684  hgt750leme  34690