Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpdp2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdp2cl 29929
Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rpdp2cl.a 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b 𝐵 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
rpdp2cl 𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl
StepHypRef Expression
1 df-dp2 29918 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 rpdp2cl.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0rei 11510 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
4 rpssre 12046 . . . . 5 + ⊆ ℝ
5 rpdp2cl.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
6 10nn 11721 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
7 nnrp 12045 . . . . . . 7 (10 ∈ ℕ → 10 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12059 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ+)
105, 8, 9mp2an 672 . . . . 5 (𝐵 / 10) ∈ ℝ+
114, 10sselii 3749 . . . 4 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
12 readdcl 10225 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ)
133, 11, 12mp2an 672 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
143, 11pm3.2i 456 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
152nn0ge0i 11527 . . . . 5 0 ≤ 𝐴
16 rpgt0 12047 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / 10))
1710, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 < (𝐵 / 10)
1815, 17pm3.2i 456 . . . 4 (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / 10))
19 addgegt0 10721 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / 10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2014, 18, 19mp2an 672 . . 3 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10))
21 elrp 12037 . . 3 ((𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10))))
2213, 20, 21mpbir2an 690 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ+
231, 22eqeltri 2846 1 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281   / cdiv 10890  cn 11226  0cn0 11499  cdc 11700  +crp 12035  cdp2 29917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-dec 11701  df-rp 12036  df-dp2 29918
This theorem is referenced by:  rpdpcl  29951  dpexpp1  29956  hgt750lemd  31066  hgt750lem  31069  hgt750lem2  31070  hgt750leme  31076
  Copyright terms: Public domain W3C validator