Theorem rpdp2cl 32553

Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpdp2cl.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
rpdp2cl	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32543	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		rpdp2cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12487	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		rpssre 12987	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpdp2cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
6		10nn 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7		nnrp 12991	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℕ → ;10 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 13005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11	4, 10	sselii 3974	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
12		readdcl 11195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ)
13	3, 11, 12	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
14	3, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
15	2	nn0ge0i 12503	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 𝐴
16		rpgt0 12992	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / ;10))
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐵 / ;10)
18	15, 17	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))
19		addgegt0 11705	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
20	14, 18, 19	mp2an 689	. . 3 ⊢ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		elrp 12982	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))))
22	13, 20, 21	mpbir2an 708	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+
23	1, 22	eqeltri 2823	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ;cdc 12681  ℝ⁺crp 12980  _cdp2 32542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682  df-rp 12981  df-dp2 32543

This theorem is referenced by:  rpdpcl  32574  dpexpp1  32579  hgt750lemd  34189  hgt750lem  34192  hgt750lem2  34193  hgt750leme  34199