Theorem rpdp2cl 32515

Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpdp2cl.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
rpdp2cl	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32505	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		rpdp2cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12480	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		rpssre 12978	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpdp2cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
6		10nn 12690	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7		nnrp 12982	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℕ → ;10 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11	4, 10	sselii 3971	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
12		readdcl 11189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ)
13	3, 11, 12	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
14	3, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
15	2	nn0ge0i 12496	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 𝐴
16		rpgt0 12983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / ;10))
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐵 / ;10)
18	15, 17	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))
19		addgegt0 11698	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
20	14, 18, 19	mp2an 689	. . 3 ⊢ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		elrp 12973	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))))
22	13, 20, 21	mpbir2an 708	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+
23	1, 22	eqeltri 2821	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11245   ≤ cle 11246   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ;cdc 12674  ℝ⁺crp 12971  _cdp2 32504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-dec 12675  df-rp 12972  df-dp2 32505

This theorem is referenced by:  rpdpcl  32536  dpexpp1  32541  hgt750lemd  34149  hgt750lem  34152  hgt750lem2  34153  hgt750leme  34159