Theorem rpdp2cl 30558

Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpdp2cl.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
rpdp2cl	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 30548	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		rpdp2cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 11909	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		rpssre 12397	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpdp2cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
6		10nn 12115	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7		nnrp 12401	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℕ → ;10 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11	4, 10	sselii 3964	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
12		readdcl 10620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ)
13	3, 11, 12	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
14	3, 11	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
15	2	nn0ge0i 11925	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 𝐴
16		rpgt0 12402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / ;10))
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐵 / ;10)
18	15, 17	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))
19		addgegt0 11127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
20	14, 18, 19	mp2an 690	. . 3 ⊢ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		elrp 12392	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))))
22	13, 20, 21	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+
23	1, 22	eqeltri 2909	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ;cdc 12099  ℝ⁺crp 12390  _cdp2 30547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-dec 12100  df-rp 12391  df-dp2 30548

This theorem is referenced by:  rpdpcl  30579  dpexpp1  30584  hgt750lemd  31919  hgt750lem  31922  hgt750lem2  31923  hgt750leme  31929