Theorem rpdp2cl 32043

Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpdp2cl.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
rpdp2cl	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32033	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		rpdp2cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12482	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		rpssre 12980	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5		rpdp2cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
6		10nn 12692	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7		nnrp 12984	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℕ → ;10 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11	4, 10	sselii 3979	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
12		readdcl 11192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ)
13	3, 11, 12	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ
14	3, 11	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
15	2	nn0ge0i 12498	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 𝐴
16		rpgt0 12985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / ;10))
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (𝐵 / ;10)
18	15, 17	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))
19		addgegt0 11700	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / ;10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
20	14, 18, 19	mp2an 690	. . 3 ⊢ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		elrp 12975	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))))
22	13, 20, 21	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℝ+
23	1, 22	eqeltri 2829	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≤ cle 11248   / cdiv 11870  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ;cdc 12676  ℝ⁺crp 12973  _cdp2 32032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677  df-rp 12974  df-dp2 32033

This theorem is referenced by:  rpdpcl  32064  dpexpp1  32069  hgt750lemd  33655  hgt750lem  33658  hgt750lem2  33659  hgt750leme  33665