Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpdp2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdp2cl 30474
Description: Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rpdp2cl.a 𝐴 ∈ ℕ0
rpdp2cl.b 𝐵 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
rpdp2cl 𝐴𝐵 ∈ ℝ+

Proof of Theorem rpdp2cl
StepHypRef Expression
1 df-dp2 30464 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 rpdp2cl.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0rei 11900 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
4 rpssre 12389 . . . . 5 + ⊆ ℝ
5 rpdp2cl.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
6 10nn 12106 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
7 nnrp 12393 . . . . . . 7 (10 ∈ ℕ → 10 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12407 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ+)
105, 8, 9mp2an 688 . . . . 5 (𝐵 / 10) ∈ ℝ+
114, 10sselii 3967 . . . 4 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
12 readdcl 10612 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ)
133, 11, 12mp2an 688 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
143, 11pm3.2i 471 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
152nn0ge0i 11916 . . . . 5 0 ≤ 𝐴
16 rpgt0 12394 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐵 / 10))
1710, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 < (𝐵 / 10)
1815, 17pm3.2i 471 . . . 4 (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / 10))
19 addgegt0 11119 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐵 / 10))) → 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2014, 18, 19mp2an 688 . . 3 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10))
21 elrp 12384 . . 3 ((𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + (𝐵 / 10))))
2213, 20, 21mpbir2an 707 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ+
231, 22eqeltri 2913 1 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cdc 12090  +crp 12382  cdp2 30463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-dec 12091  df-rp 12383  df-dp2 30464
This theorem is referenced by:  rpdpcl  30495  dpexpp1  30500  hgt750lemd  31807  hgt750lem  31810  hgt750lem2  31811  hgt750leme  31817
  Copyright terms: Public domain W3C validator