MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recextlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recextlem2 11259
Description: Lemma for recex 11260. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Proof of Theorem recextlem2
StepHypRef Expression
1 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = (i · 0))
2 ax-icn 10584 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
32mul01i 10818 . . . . . . . . 9 (i · 0) = 0
41, 3syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = 0)
5 oveq12 7154 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ (i · 𝐵) = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
64, 5sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
7 00id 10803 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
86, 7syl6eq 2869 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = 0)
98necon3ai 3038 . . . . 5 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10 neorian 3108 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
119, 10sylibr 235 . . . 4 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
12 remulcl 10610 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
1312anidms 567 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14 remulcl 10610 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
1514anidms 567 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
1613, 15anim12i 612 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17 msqgt0 11148 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18 msqge0 11149 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
1917, 18anim12i 612 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
2019an32s 648 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21 addgtge0 11116 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
2216, 20, 21syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23 msqge0 11149 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
24 msqgt0 11148 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
2523, 24anim12i 612 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
2625anassrs 468 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
27 addgegt0 11115 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
2816, 26, 27syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
2922, 28jaodan 951 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
3011, 29sylan2 592 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31303impa 1102 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
3231gt0ne0d 11192 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  recex  11260
  Copyright terms: Public domain W3C validator