Theorem recextlem2 11818

Description: Lemma for recex 11819. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Proof of Theorem recextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = (i · 0))
2		ax-icn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	mul01i 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 0) = 0
4	1, 3	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = 0)
5		oveq12 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (i · 𝐵) = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
6	4, 5	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
7		00id 11358	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = 0)
9	8	necon3ai 2982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		neorian 3052	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	9, 10	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
12		remulcl 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17		msqgt0 11707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18		msqge0 11708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
19	17, 18	anim12i 622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
20	19	an32s 662	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21		addgtge0 11675	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
22	16, 20, 21	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23		msqge0 11708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
24		msqgt0 11707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
25	23, 24	anim12i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
26	25	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
27		addgegt0 11674	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
28	16, 26, 27	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
29	22, 28	jaodan 970	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	11, 29	sylan2 602	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	30	3impa 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	31	gt0ne0d 11751	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  ici 11075   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417

This theorem is referenced by:  recex  11819