Theorem recextlem2 11589

Description: Lemma for recex 11590. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Proof of Theorem recextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = (i · 0))
2		ax-icn 10914	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	mul01i 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 0) = 0
4	1, 3	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = 0)
5		oveq12 7277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (i · 𝐵) = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
6	4, 5	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
7		00id 11133	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = 0)
9	8	necon3ai 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		neorian 3040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	9, 10	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
12		remulcl 10940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 10940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17		msqgt0 11478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18		msqge0 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
19	17, 18	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
20	19	an32s 648	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21		addgtge0 11446	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
22	16, 20, 21	syl2an2r 681	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23		msqge0 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
24		msqgt0 11478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
25	23, 24	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
26	25	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
27		addgegt0 11445	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
28	16, 26, 27	syl2an2r 681	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
29	22, 28	jaodan 954	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	11, 29	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	30	3impa 1108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	31	gt0ne0d 11522	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  ici 10857   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993   ≤ cle 10994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  recex  11590