Theorem recextlem2 11260

Description: Lemma for recex 11261. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Proof of Theorem recextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = (i · 0))
2		ax-icn 10585	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	mul01i 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 0) = 0
4	1, 3	eqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = 0)
5		oveq12 7144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (i · 𝐵) = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
6	4, 5	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
7		00id 10804	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = 0)
9	8	necon3ai 3012	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		neorian 3081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	9, 10	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
12		remulcl 10611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 10611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17		msqgt0 11149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18		msqge0 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
19	17, 18	anim12i 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
20	19	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21		addgtge0 11117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
22	16, 20, 21	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23		msqge0 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
24		msqgt0 11149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
25	23, 24	anim12i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
26	25	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
27		addgegt0 11116	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
28	16, 26, 27	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
29	22, 28	jaodan 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	11, 29	sylan2 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	30	3impa 1107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	31	gt0ne0d 11193	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  recex  11261