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Theorem mulcn2 15632
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 13062 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3 abscl 15317 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
433ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5 abscl 15317 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
653ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
8 readdcl 11238 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10 absge0 15326 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
11 0lt1 11785 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
12 addgegt0 11750 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐵) ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
1312an4s 660 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
147, 11, 13mpanr12 705 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
155, 10, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
16153ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
179, 16elrpd 13074 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
182, 17rpdivcld 13094 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
1918rpred 13077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
204, 19readdcld 11290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
21 absge0 15326 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐶))
22213ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
23 elrp 13036 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
24 addgegt0 11750 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
2524an4s 660 . . . . . 6 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
2623, 25sylan2b 594 . . . . 5 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
274, 22, 18, 26syl21anc 838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
2820, 27elrpd 13074 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ+)
292, 28rpdivcld 13094 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ+)
30 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
31 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3230, 31subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢𝐵) ∈ ℂ)
3332abscld 15475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢𝐵)) ∈ ℝ)
342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3534rpred 13077 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3628adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ+)
3733, 35, 36ltmuldivd 13124 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
38 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
39 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4038, 39abs2difd 15496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))
4138abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝑣) ∈ ℝ)
424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
4438, 39subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣𝐶) ∈ ℂ)
4544abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ)
4619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
47 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
4940, 48mpand 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
5041, 42, 46ltsubadd2d 11861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ↔ (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5149, 50sylibd 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5220adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
53 ltle 11349 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5441, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5551, 54syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5632absge0d 15483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑢𝐵)))
57 lemul2a 12122 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢𝐵)))) ∧ (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5857ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢𝐵)))) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1376 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
6033, 41remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ)
6133, 52remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ)
62 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
6360, 61, 35, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
6463expd 415 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6555, 59, 643syld 60 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6665com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6737, 66sylbird 260 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6867impd 410 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
6932, 38absmuld 15493 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢𝐵) · 𝑣)) = ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)))
7030, 31, 38subdird 11720 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢𝐵) · 𝑣) = ((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣)))
7170fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢𝐵) · 𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
7269, 71eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
7372breq1d 5153 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
7468, 73sylibd 239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
7517adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
7645, 35, 75ltmuldiv2d 13125 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
7731, 38, 39subdid 11719 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · (𝑣𝐶)) = ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)))
7877fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣𝐶))) = (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))))
7931, 44absmuld 15493 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))))
8078, 79eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))))
8131abscld 15475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
8281lep1d 12199 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1))
839adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
84 abscl 15317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐶) ∈ ℂ → (abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ)
85 absge0 15326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐶) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))
8684, 85jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐶) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶))))
87 lemul1a 12121 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))) ∧ (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))))
8887ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶)))))
8986, 88syl3an3 1166 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑣𝐶) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶)))))
9081, 83, 44, 89syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶)))))
9182, 90mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))))
9280, 91eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))))
9331, 38mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
9431, 39mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
9593, 94subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9695abscld 15475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
9783, 45remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∈ ℝ)
98 lelttr 11351 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
9996, 97, 35, 98syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
10092, 99mpand 695 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
10176, 100sylbird 260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
102101adantld 490 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
10374, 102jcad 512 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2))))
104 mulcl 11239 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
105104adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
106 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
107106rpred 13077 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108 abs3lem 15377 . . . . 5 ((((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 839 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
110103, 109syld 47 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
111110ralrimivva 3202 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
112 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
113112anbi1d 631 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧)))
114113imbi1d 341 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
1151142ralbidv 3221 . . 3 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
116 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
117116anbi2d 630 . . . . 5 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
118117imbi1d 341 . . . 4 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
1191182ralbidv 3221 . . 3 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
120115, 119rspc2ev 3635 . 2 ((((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
12129, 18, 111, 120syl3anc 1373 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  climmul  15669  rlimmul  15681  mulcn  24889  mpomulcn  24891  mulc1cncf  24931  mullimc  45631  mullimcf  45638
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