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Theorem mulcn2 15233
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 12686 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
213ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3 abscl 14918 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
433ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5 abscl 14918 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
653ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7 1re 10906 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
8 readdcl 10885 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
96, 7, 8sylancl 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10 absge0 14927 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
11 0lt1 11427 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
12 addgegt0 11392 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐵) ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
1312an4s 656 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
147, 11, 13mpanr12 701 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
155, 10, 14syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
16153ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐵) + 1))
179, 16elrpd 12698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
182, 17rpdivcld 12718 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
1918rpred 12701 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
204, 19readdcld 10935 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
21 absge0 14927 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐶))
22213ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
23 elrp 12661 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
24 addgegt0 11392 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
2524an4s 656 . . . . . 6 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ (((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
2623, 25sylan2b 593 . . . . 5 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)) ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
274, 22, 18, 26syl21anc 834 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 0 < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
2820, 27elrpd 12698 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ+)
292, 28rpdivcld 12718 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ+)
30 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
31 simpl2 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3230, 31subcld 11262 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢𝐵) ∈ ℂ)
3332abscld 15076 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢𝐵)) ∈ ℝ)
342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3534rpred 12701 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3628adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ+)
3733, 35, 36ltmuldivd 12748 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
38 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
39 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4038, 39abs2difd 15097 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))
4138abscld 15076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝑣) ∈ ℝ)
424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11333 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
4438, 39subcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣𝐶) ∈ ℂ)
4544abscld 15076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ)
4619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
47 lelttr 10996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) ≤ (abs‘(𝑣𝐶)) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
4940, 48mpand 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
5041, 42, 46ltsubadd2d 11503 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑣) − (abs‘𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ↔ (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5149, 50sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5220adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ)
53 ltle 10994 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5441, 52, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) < ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5551, 54syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5632absge0d 15084 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑢𝐵)))
57 lemul2a 11760 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢𝐵)))) ∧ (abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
5857ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑢𝐵)))) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝑣) ≤ ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
6033, 41remulcld 10936 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ)
6133, 52remulcld 10936 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ)
62 lelttr 10996 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
6360, 61, 35, 62syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
6463expd 415 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) ≤ ((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6555, 59, 643syld 60 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6665com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) < (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6737, 66sylbird 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2))))
6867impd 410 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2)))
6932, 38absmuld 15094 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢𝐵) · 𝑣)) = ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)))
7030, 31, 38subdird 11362 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢𝐵) · 𝑣) = ((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣)))
7170fveq2d 6760 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢𝐵) · 𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
7269, 71eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) = (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))))
7372breq1d 5080 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) · (abs‘𝑣)) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
7468, 73sylibd 238 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2)))
7517adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
7645, 35, 75ltmuldiv2d 12749 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
7731, 38, 39subdid 11361 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · (𝑣𝐶)) = ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)))
7877fveq2d 6760 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣𝐶))) = (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))))
7931, 44absmuld 15094 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐵 · (𝑣𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))))
8078, 79eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))))
8131abscld 15076 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
8281lep1d 11836 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1))
839adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
84 abscl 14918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐶) ∈ ℂ → (abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ)
85 absge0 14927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐶) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))
8684, 85jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐶) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶))))
87 lemul1a 11759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))) ∧ (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))))
8887ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝑣𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑣𝐶)))) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶)))))
8986, 88syl3an3 1163 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑣𝐶) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶)))))
9081, 83, 44, 89syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) ≤ ((abs‘𝐵) + 1) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶)))))
9182, 90mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘𝐵) · (abs‘(𝑣𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))))
9280, 91eqbrtrd 5092 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))))
9331, 38mulcld 10926 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
9431, 39mulcld 10926 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
9593, 94subcld 11262 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9695abscld 15076 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
9783, 45remulcld 10936 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∈ ℝ)
98 lelttr 10996 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
9996, 97, 35, 98syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) ≤ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) ∧ (((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
10092, 99mpand 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘𝐵) + 1) · (abs‘(𝑣𝐶))) < (𝐴 / 2) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
10176, 100sylbird 259 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
102101adantld 490 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)))
10374, 102jcad 512 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → ((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2))))
104 mulcl 10886 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
105104adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
106 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
107106rpred 12701 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108 abs3lem 14978 . . . . 5 ((((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 835 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
110103, 109syld 47 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
111110ralrimivva 3114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
112 breq2 5074 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))))
113112anbi1d 629 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧)))
114113imbi1d 341 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
1151142ralbidv 3122 . . 3 (𝑦 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
116 breq2 5074 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))))
117116anbi2d 628 . . . . 5 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))))
118117imbi1d 341 . . . 4 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
1191182ralbidv 3122 . . 3 (𝑧 = ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)))
120115, 119rspc2ev 3564 . 2 ((((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐶) + ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1)))) ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < ((𝐴 / 2) / ((abs‘𝐵) + 1))) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
12129, 18, 111, 120syl3anc 1369 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wral 3063  wrex 3064   class class class wbr 5070  cfv 6418  (class class class)co 7255  cc 10800  cr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940  cle 10941  cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  +crp 12659  abscabs 14873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875
This theorem is referenced by:  climmul  15270  rlimmul  15283  rlimmulOLD  15284  mulcn  23936  mulc1cncf  23974  mullimc  43047  mullimcf  43054
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