Theorem alephlim 10050

Description: Value of the aleph function at a limit ordinal. Definition 12(iii) of [Suppes] p. 91. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephlim	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → (ℵ‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ℵ‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem alephlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglim2a 8419	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → (rec(har, ω)‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rec(har, ω)‘𝑥))
2		df-aleph 9925	. . 3 ⊢ ℵ = rec(har, ω)
3	2	fveq1i 6882	. 2 ⊢ (ℵ‘𝐴) = (rec(har, ω)‘𝐴)
4	2	fveq1i 6882	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝑥) = (rec(har, ω)‘𝑥)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (ℵ‘𝑥) = (rec(har, ω)‘𝑥))
6	5	iuneq2i 4977	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rec(har, ω)‘𝑥)
7	1, 3, 6	3eqtr4g 2821	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → (ℵ‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ℵ‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∪ ciun 4955  Lim wlim 6361  ‘cfv 6536  ωcom 7861  reccrdg 8395  harchar 9517  ℵcale 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-aleph 9925

This theorem is referenced by:  alephon  10052  alephcard  10053  alephordi  10057  cardaleph  10072  alephsing  10259  pwcfsdom  10567