Theorem alephlim 10146

Description: Value of the aleph function at a limit ordinal. Definition 12(iii) of [Suppes] p. 91. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephlim	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → (ℵ‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ℵ‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem alephlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglim2a 8441	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → (rec(har, ω)‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rec(har, ω)‘𝑥))
2		df-aleph 10021	. . 3 ⊢ ℵ = rec(har, ω)
3	2	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (ℵ‘𝐴) = (rec(har, ω)‘𝐴)
4	2	fveq1i 6886	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝑥) = (rec(har, ω)‘𝑥)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (ℵ‘𝑥) = (rec(har, ω)‘𝑥))
6	5	iuneq2i 4972	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rec(har, ω)‘𝑥)
7	1, 3, 6	3eqtr4g 2820	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → (ℵ‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ℵ‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∪ ciun 4950  Lim wlim 6363  ‘cfv 6538  ωcom 7877  reccrdg 8417  harchar 9550  ℵcale 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-aleph 10021

This theorem is used by:  alephon  10148  alephcard  10149  alephordi  10153  cardaleph  10168  alephsing  10354  pwcfsdom  10668