Theorem asclfn 21827

Description: Unconditional functionality of the algebra scalar lifting function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfn.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclfn	⊢ 𝐴 Fn 𝐾

Proof of Theorem asclfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7388	. 2 ⊢ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ V
2		asclfn.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 21825	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	fnmpti 6632	1 ⊢ 𝐴 Fn 𝐾

Syntax hints:   = wceq 1541   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  Scalarcsca 17171   ·_𝑠 cvsca 17172  1_rcur 20107  algSccascl 21798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-1cn 11075  ax-addcl 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ascl 21801

This theorem is referenced by:  issubassa2  21839  subrgascl  22012