Theorem asclfn 22194

Description: Unconditional functionality of the algebra scalar lifting function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfn.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclfn	⊢ 𝐴 Fn 𝐾

Proof of Theorem asclfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7454	. 2 ⊢ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ V
2		asclfn.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 22192	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	fnmpti 6683	1 ⊢ 𝐴 Fn 𝐾

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  1_rcur 20413  algSccascl 22166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ascl 22169

This theorem is used by:  issubassa2  22206  subrgascl  22381