Theorem asclfn 21066

Description: Unconditional functionality of the algebra scalars function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfn.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclfn	⊢ 𝐴 Fn 𝐾

Proof of Theorem asclfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7301	. 2 ⊢ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ V
2		asclfn.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 21064	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	fnmpti 6572	1 ⊢ 𝐴 Fn 𝐾

Syntax hints:   = wceq 1541   Fn wfn 6425  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  Scalarcsca 16946   ·_𝑠 cvsca 16947  1_rcur 19718  algSccascl 21040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-1cn 10913  ax-addcl 10915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-nn 11957  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ascl 21043

This theorem is referenced by:  issubassa2  21077  subrgascl  21255