Theorem asclfn 22181

Description: Unconditional functionality of the algebra scalar lifting function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfn.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
asclfn	⊢ 𝐴 Fn 𝐾

Proof of Theorem asclfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7451	. 2 ⊢ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ V
2		asclfn.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 22179	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	fnmpti 6680	1 ⊢ 𝐴 Fn 𝐾

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  1_rcur 20400  algSccascl 22153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-1cn 11251  ax-addcl 11253

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ascl 22156

This theorem is used by:  issubassa2  22193  subrgascl  22368