Theorem asclfval 20838

Description: Function value of the algebraic scalars function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclfval	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem asclfval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclfval.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = (Scalar‘𝑊))
3		asclfval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	2, 3	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = 𝐹)
5	4	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = (Base‘𝐹))
6		asclfval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = 𝐾)
8		fveq2 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
9		asclfval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	8, 9	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = · )
11		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑥)
12		fveq2 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = (1r‘𝑊))
13		asclfval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
14	12, 13	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = 1 )
15	10, 11, 14	oveq123d 7234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤)) = (𝑥 · 1 ))
16	7, 15	mpteq12dv 5140	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
17		df-ascl 20817	. . . 4 ⊢ algSc = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))))
18	16, 17, 6	mptfvmpt 7044	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
19		fvprc 6709	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = ∅)
20		mpt0 6520	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )) = ∅
21	19, 20	eqtr4di 2796	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
22		fvprc 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
23	3, 22	syl5eq 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
24	23	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
25		base0 16765	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
26	24, 25	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
27	6, 26	syl5eq 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
28	27	mpteq1d 5144	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
29	21, 28	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
30	18, 29	pm2.61i 185	. 2 ⊢ (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
31	1, 30	eqtri 2765	1 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ∅c0 4237   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  1_rcur 19516  algSccascl 20814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-1cn 10787  ax-addcl 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-nn 11831  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ascl 20817

This theorem is referenced by:  asclval  20839  asclfn  20840  asclf  20841  rnascl  20851  ressascl  20856  asclpropd  20857  rnasclg  39936