MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclfval 21878
Description: Function value of the algebraic scalars function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
asclfval.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclfval 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem asclfval
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asclfval.a . 2 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2 fveq2 6903 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = (Scalar‘𝑊))
3 asclfval.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
42, 3eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = 𝐹)
54fveq2d 6907 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = (Base‘𝐹))
6 asclfval.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
75, 6eqtr4di 2784 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = 𝐾)
8 fveq2 6903 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠𝑤) = ( ·𝑠𝑊))
9 asclfval.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
108, 9eqtr4di 2784 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠𝑤) = · )
11 eqidd 2727 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊𝑥 = 𝑥)
12 fveq2 6903 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (1r𝑤) = (1r𝑊))
13 asclfval.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑊)
1412, 13eqtr4di 2784 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (1r𝑤) = 1 )
1510, 11, 14oveq123d 7447 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥( ·𝑠𝑤)(1r𝑤)) = (𝑥 · 1 ))
167, 15mpteq12dv 5246 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑤)(1r𝑤))) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
17 df-ascl 21855 . . . 4 algSc = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑤)(1r𝑤))))
1816, 17, 6mptfvmpt 7247 . . 3 (𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
19 fvprc 6895 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = ∅)
20 mpt0 6705 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )) = ∅
2119, 20eqtr4di 2784 . . . 4 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
22 fvprc 6895 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
233, 22eqtrid 2778 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
2423fveq2d 6907 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
25 base0 17220 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
2624, 25eqtr4di 2784 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
276, 26eqtrid 2778 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
2827mpteq1d 5250 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
2921, 28eqtr4d 2769 . . 3 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
3018, 29pm2.61i 182 . 2 (algSc‘𝑊) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
311, 30eqtri 2754 1 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  c0 4325  cmpt 5238  cfv 6556  (class class class)co 7426  Basecbs 17215  Scalarcsca 17271   ·𝑠 cvsca 17272  1rcur 20166  algSccascl 21852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-1cn 11218  ax-addcl 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-nn 12267  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ascl 21855
This theorem is referenced by:  asclval  21879  asclfn  21880  asclf  21881  rnascl  21890  ressascl  21895  asclpropd  21896  rnasclg  42169
  Copyright terms: Public domain W3C validator