MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclfval 21826
Description: Function value of the algebraic scalars function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
asclfval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
asclfval.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
asclfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
asclfval.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
asclfval 𝐴 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾   π‘₯, 1   π‘₯, Β·   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem asclfval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asclfval.a . 2 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
2 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘Š))
3 asclfval.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
42, 3eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = 𝐹)
54fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜πΉ))
6 asclfval.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
75, 6eqtr4di 2786 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = 𝐾)
8 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
9 asclfval.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
108, 9eqtr4di 2786 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = Β· )
11 eqidd 2729 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘₯)
12 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (1rβ€˜π‘€) = (1rβ€˜π‘Š))
13 asclfval.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘Š)
1412, 13eqtr4di 2786 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (1rβ€˜π‘€) = 1 )
1510, 11, 14oveq123d 7447 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(1rβ€˜π‘€)) = (π‘₯ Β· 1 ))
167, 15mpteq12dv 5243 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(1rβ€˜π‘€))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
17 df-ascl 21803 . . . 4 algSc = (𝑀 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(1rβ€˜π‘€))))
1816, 17, 6mptfvmpt 7246 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
19 fvprc 6894 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = βˆ…)
20 mpt0 6702 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯ Β· 1 )) = βˆ…
2119, 20eqtr4di 2786 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
22 fvprc 6894 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = βˆ…)
233, 22eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐹 = βˆ…)
2423fveq2d 6906 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜βˆ…))
25 base0 17194 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
2624, 25eqtr4di 2786 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΉ) = βˆ…)
276, 26eqtrid 2780 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
2827mpteq1d 5247 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
2921, 28eqtr4d 2771 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
3018, 29pm2.61i 182 . 2 (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
311, 30eqtri 2756 1 𝐴 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  1rcur 20135  algSccascl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-1cn 11206  ax-addcl 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-nn 12253  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ascl 21803
This theorem is referenced by:  asclval  21827  asclfn  21828  asclf  21829  rnascl  21838  ressascl  21843  asclpropd  21844  rnasclg  41779
  Copyright terms: Public domain W3C validator