MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclfval 21917
Description: Function value of the algebra scalar lifting function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
asclfval.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclfval 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem asclfval
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asclfval.a . 2 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = (Scalar‘𝑊))
3 asclfval.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
42, 3eqtr4di 2793 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = 𝐹)
54fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = (Base‘𝐹))
6 asclfval.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
75, 6eqtr4di 2793 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = 𝐾)
8 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠𝑤) = ( ·𝑠𝑊))
9 asclfval.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
108, 9eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠𝑤) = · )
11 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊𝑥 = 𝑥)
12 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (1r𝑤) = (1r𝑊))
13 asclfval.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑊)
1412, 13eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (1r𝑤) = 1 )
1510, 11, 14oveq123d 7452 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥( ·𝑠𝑤)(1r𝑤)) = (𝑥 · 1 ))
167, 15mpteq12dv 5239 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑤)(1r𝑤))) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
17 df-ascl 21893 . . . 4 algSc = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠𝑤)(1r𝑤))))
1816, 17, 6mptfvmpt 7248 . . 3 (𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
19 fvprc 6899 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = ∅)
20 mpt0 6711 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )) = ∅
2119, 20eqtr4di 2793 . . . 4 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
22 fvprc 6899 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
233, 22eqtrid 2787 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
2423fveq2d 6911 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
25 base0 17250 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
2624, 25eqtr4di 2793 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
276, 26eqtrid 2787 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
2827mpteq1d 5243 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
2921, 28eqtr4d 2778 . . 3 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
3018, 29pm2.61i 182 . 2 (algSc‘𝑊) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
311, 30eqtri 2763 1 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  1rcur 20199  algSccascl 21890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ascl 21893
This theorem is referenced by:  asclval  21918  asclfn  21919  asclf  21920  rnascl  21929  ressascl  21934  asclpropd  21935  rnasclg  42486
  Copyright terms: Public domain W3C validator