MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclfval 21298
Description: Function value of the algebraic scalars function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
asclfval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
asclfval.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
asclfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
asclfval.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
asclfval 𝐴 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾   π‘₯, 1   π‘₯, Β·   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem asclfval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asclfval.a . 2 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
2 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘Š β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘Š))
3 asclfval.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = 𝐹)
54fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜πΉ))
6 asclfval.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
75, 6eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = 𝐾)
8 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
9 asclfval.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
108, 9eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = Β· )
11 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘₯)
12 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (1rβ€˜π‘€) = (1rβ€˜π‘Š))
13 asclfval.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘Š)
1412, 13eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (1rβ€˜π‘€) = 1 )
1510, 11, 14oveq123d 7379 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(1rβ€˜π‘€)) = (π‘₯ Β· 1 ))
167, 15mpteq12dv 5197 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(1rβ€˜π‘€))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
17 df-ascl 21277 . . . 4 algSc = (𝑀 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↦ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(1rβ€˜π‘€))))
1816, 17, 6mptfvmpt 7179 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
19 fvprc 6835 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = βˆ…)
20 mpt0 6644 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯ Β· 1 )) = βˆ…
2119, 20eqtr4di 2791 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
22 fvprc 6835 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = βˆ…)
233, 22eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐹 = βˆ…)
2423fveq2d 6847 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜βˆ…))
25 base0 17093 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
2624, 25eqtr4di 2791 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΉ) = βˆ…)
276, 26eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
2827mpteq1d 5201 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
2921, 28eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 )))
3018, 29pm2.61i 182 . 2 (algScβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
311, 30eqtri 2761 1 𝐴 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  1rcur 19918  algSccascl 21274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ascl 21277
This theorem is referenced by:  asclval  21299  asclfn  21300  asclf  21301  rnascl  21310  ressascl  21315  asclpropd  21316  rnasclg  40719
  Copyright terms: Public domain W3C validator