Theorem asclfval 22099

Description: Function value of the algebra scalar lifting function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclfval	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem asclfval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclfval.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = (Scalar‘𝑊))
3		asclfval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	2, 3	eqtr4di 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = 𝐹)
5	4	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = (Base‘𝐹))
6		asclfval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	eqtr4di 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = 𝐾)
8		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
9		asclfval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	8, 9	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = · )
11		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑥)
12		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = (1r‘𝑊))
13		asclfval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
14	12, 13	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = 1 )
15	10, 11, 14	oveq123d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤)) = (𝑥 · 1 ))
16	7, 15	mpteq12dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
17		df-ascl 22076	. . . 4 ⊢ algSc = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))))
18	16, 17, 6	mptfvmpt 7231	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
19		fvprc 6874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = ∅)
20		mpt0 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )) = ∅
21	19, 20	eqtr4di 2815	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
22		fvprc 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
23	3, 22	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
24	23	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
25		base0 17312	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
26	24, 25	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
27	6, 26	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
28	27	mpteq1d 5199	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
29	21, 28	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
30	18, 29	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
31	1, 30	eqtri 2785	1 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  1_rcur 20326  algSccascl 22073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ascl 22076

This theorem is used by:  asclval  22100  asclfn  22101  asclf  22102  rnascl  22112  ressascl  22117  asclpropd  22118  rnasclg  43395