Theorem asclfval 21773

Description: Function value of the algebraic scalars function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclfval	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem asclfval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclfval.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = (Scalar‘𝑊))
3		asclfval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	2, 3	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = 𝐹)
5	4	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = (Base‘𝐹))
6		asclfval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	eqtr4di 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = 𝐾)
8		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
9		asclfval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	8, 9	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = · )
11		eqidd 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑥)
12		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = (1r‘𝑊))
13		asclfval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
14	12, 13	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = 1 )
15	10, 11, 14	oveq123d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤)) = (𝑥 · 1 ))
16	7, 15	mpteq12dv 5232	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
17		df-ascl 21750	. . . 4 ⊢ algSc = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))))
18	16, 17, 6	mptfvmpt 7225	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
19		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = ∅)
20		mpt0 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )) = ∅
21	19, 20	eqtr4di 2784	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
22		fvprc 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
23	3, 22	eqtrid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
24	23	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
25		base0 17158	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
26	24, 25	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
27	6, 26	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
28	27	mpteq1d 5236	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
29	21, 28	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
30	18, 29	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
31	1, 30	eqtri 2754	1 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ∅c0 4317   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·_𝑠 cvsca 17210  1_rcur 20086  algSccascl 21747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ascl 21750

This theorem is referenced by:  asclval  21774  asclfn  21775  asclf  21776  rnascl  21785  ressascl  21790  asclpropd  21791  rnasclg  41634