Theorem asclfval 21834

Description: Function value of the algebra scalar lifting function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclfval	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem asclfval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclfval.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = (Scalar‘𝑊))
3		asclfval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	2, 3	eqtr4di 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Scalar‘𝑤) = 𝐹)
5	4	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = (Base‘𝐹))
6		asclfval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘(Scalar‘𝑤)) = 𝐾)
8		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
9		asclfval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	8, 9	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘𝑤) = · )
11		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑥)
12		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = (1r‘𝑊))
13		asclfval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
14	12, 13	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (1r‘𝑤) = 1 )
15	10, 11, 14	oveq123d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤)) = (𝑥 · 1 ))
16	7, 15	mpteq12dv 5185	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
17		df-ascl 21810	. . . 4 ⊢ algSc = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤)) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)(1r‘𝑤))))
18	16, 17, 6	mptfvmpt 7174	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
19		fvprc 6826	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = ∅)
20		mpt0 6634	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )) = ∅
21	19, 20	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
22		fvprc 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
23	3, 22	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
24	23	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = (Base‘∅))
25		base0 17141	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
26	24, 25	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐹) = ∅)
27	6, 26	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
28	27	mpteq1d 5188	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 · 1 )))
29	21, 28	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 )))
30	18, 29	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (algSc‘𝑊) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
31	1, 30	eqtri 2759	1 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  1_rcur 20116  algSccascl 21807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ascl 21810

This theorem is referenced by:  asclval  21835  asclfn  21836  asclf  21837  rnascl  21847  ressascl  21852  asclpropd  21853  rnasclg  42750