Theorem asclf 21082

Description: The algebra scalars function is a function into the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
asclf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclf	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Proof of Theorem asclf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
4		asclf.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
5		asclf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	5, 6	ringidcl 19803	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
10		asclf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		asclf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13	5, 10, 11, 12	lmodvscl 20136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
14	2, 3, 9, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
15		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16	15, 10, 12, 11, 6	asclfval 21079	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	14, 16	fmptd 6983	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  Scalarcsca 16961   ·_𝑠 cvsca 16962  1_rcur 19733  Ringcrg 19779  LModclmod 20119  algSccascl 21055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-lmod 20121  df-ascl 21058

This theorem is referenced by:  asclghm  21083  ascldimul  21088  aspval2  21098  mplasclf  21269  subrgasclcl  21271  mpfconst  21307  ply1sclf  21452  cply1coe0bi  21467  lply1binomsc  21474  evls1sca  21485  evl1scvarpw  21525  mat2pmatbas  21871  chpscmat  21987  chpscmatgsumbin  21989