Theorem asclf 19705

Description: The algebra scalars function is a function into the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
asclf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclf	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Proof of Theorem asclf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
4		asclf.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
5		asclf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	5, 6	ringidcl 18929	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
10		asclf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2825	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		asclf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13	5, 10, 11, 12	lmodvscl 19243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
14	2, 3, 9, 13	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
15		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16	15, 10, 12, 11, 6	asclfval 19702	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	14, 16	fmptd 6638	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  Scalarcsca 16315   ·_𝑠 cvsca 16316  1_rcur 18862  Ringcrg 18908  LModclmod 19226  algSccascl 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-lmod 19228  df-ascl 19682

This theorem is referenced by:  asclghm  19706  aspval2  19715  mplasclf  19864  subrgasclcl  19866  evlseu  19883  mpfconst  19897  ply1sclf  20022  cply1coe0bi  20037  lply1binomsc  20044  evls1sca  20055  evl1scvarpw  20094  mat2pmatbas  20908  chpscmat  21024  chpscmatgsumbin  21026