Theorem asclf 21903

Description: The algebra scalar lifting function is a function into the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
asclf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclf	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Proof of Theorem asclf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
4		asclf.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
5		asclf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	5, 6	ringidcl 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
10		asclf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		asclf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13	5, 10, 11, 12	lmodvscl 20877	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
14	2, 3, 9, 13	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
15		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16	15, 10, 12, 11, 6	asclfval 21900	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	14, 16	fmptd 7133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  LModclmod 20859  algSccascl 21873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-ascl 21876

This theorem is referenced by:  asclghm  21904  ascldimul  21909  aspval2  21919  psrasclcl  22001  mplasclf  22090  subrgasclcl  22092  mpfconst  22126  ply1sclf  22289  cply1coe0bi  22307  lply1binomsc  22316  evls1sca  22328  evl1scvarpw  22368  evls1fpws  22374  mat2pmatbas  22733  chpscmat  22849  chpscmatgsumbin  22851  irngnzply1lem  33741  2sqr3minply  33792  asclelbas  48910