Theorem asclval 21796

Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2		asclfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		asclfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		asclfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 21795	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8		ovex 7423	. 2 ⊢ (𝑋 · 1 ) ∈ V
9	1, 7, 8	fvmpt 6971	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  1_rcur 20097  algSccascl 21768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ascl 21771

This theorem is referenced by:  asclghm  21799  ascl0  21800  ascl1  21801  asclmul1  21802  asclmul2  21803  ascldimul  21804  asclmulg  21818  psrascl  21895  mplascl  21978  psdascl  22062  ply1scltm  22174  ply1scl0OLD  22184  ply1scl1OLD  22187  lply1binomsc  22205  asclply1subcl  22268  pmatcollpwscmatlem1  22683  cayhamlem2  22778  ressasclcl  33547  ply1sclrmsm  48376  asclelbasALT  48999