MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclval 21299
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
asclfval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
asclfval.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
asclfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
asclfval.o 1 = (1rβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
asclval (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ (π΄β€˜π‘‹) = (𝑋 Β· 1 ))

Proof of Theorem asclval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . 2 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Β· 1 ) = (𝑋 Β· 1 ))
2 asclfval.a . . 3 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
3 asclfval.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 asclfval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
5 asclfval.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 asclfval.o . . 3 1 = (1rβ€˜π‘Š)
72, 3, 4, 5, 6asclfval 21298 . 2 𝐴 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· 1 ))
8 ovex 7391 . 2 (𝑋 Β· 1 ) ∈ V
91, 7, 8fvmpt 6949 1 (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ (π΄β€˜π‘‹) = (𝑋 Β· 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  1rcur 19918  algSccascl 21274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ascl 21277
This theorem is referenced by:  asclghm  21302  ascl0  21303  ascl1  21304  asclmul1  21305  asclmul2  21306  ascldimul  21307  mplascl  21488  ply1scltm  21668  ply1scl0  21677  ply1scl1  21679  lply1binomsc  21694  pmatcollpwscmatlem1  22154  cayhamlem2  22249  asclmulg  32311  asclply1subcl  32330  ply1sclrmsm  46550
  Copyright terms: Public domain W3C validator