Theorem asclval 21835

Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2		asclfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		asclfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		asclfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 21834	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8		ovex 7391	. 2 ⊢ (𝑋 · 1 ) ∈ V
9	1, 7, 8	fvmpt 6941	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  1_rcur 20116  algSccascl 21807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ascl 21810

This theorem is referenced by:  asclghm  21838  ascl0  21840  ascl1  21841  asclmul1  21842  asclmul2  21843  ascldimul  21844  asclmulg  21858  psrascl  21934  mplascl  22019  psdascl  22111  ply1scltm  22223  ply1scl0OLD  22233  ply1scl1OLD  22236  lply1binomsc  22255  asclply1subcl  22318  pmatcollpwscmatlem1  22733  cayhamlem2  22828  ressasclcl  33652  ply1sclrmsm  48626  asclelbasALT  49247