Theorem asclval 22100

Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7424	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2		asclfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		asclfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		asclfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 22099	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8		ovex 7450	. 2 ⊢ (𝑋 · 1 ) ∈ V
9	1, 7, 8	fvmpt 6990	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  1_rcur 20326  algSccascl 22073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ascl 22076

This theorem is used by:  asclghm  22103  ascl0  22105  ascl1  22106  asclmul1  22107  asclmul2  22108  ascldimul  22109  asclmulg  22123  psrascl  22199  mplascl  22286  psdascl  22402  ply1scltm  22513  lply1binomsc  22542  asclply1subcl  22605  pmatcollpwscmatlem1  23020  cayhamlem2  23115  ressasclcl  33989  ply1sclrmsm  49322  asclelbasALT  49940