MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclval 19832
Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclfval.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
asclfval.o 1 = (1r𝑊)
Assertion
Ref Expression
asclval (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6985 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2 asclfval.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3 asclfval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 asclfval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 asclfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 asclfval.o . . 3 1 = (1r𝑊)
72, 3, 4, 5, 6asclfval 19831 . 2 𝐴 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8 ovex 7010 . 2 (𝑋 · 1 ) ∈ V
91, 7, 8fvmpt 6597 1 (𝑋𝐾 → (𝐴𝑋) = (𝑋 · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6190  (class class class)co 6978  Basecbs 16342  Scalarcsca 16427   ·𝑠 cvsca 16428  1rcur 18977  algSccascl 19808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-slot 16346  df-base 16348  df-ascl 19811
This theorem is referenced by:  asclghm  19835  asclmul1  19836  asclmul2  19837  asclrhm  19839  mplascl  19992  ply1scltm  20155  ply1scl0  20164  ply1scl1  20166  lply1binomsc  20181  pmatcollpwscmatlem1  21104  cayhamlem2  21199  ascl0  43799  ascl1  43800  ply1sclrmsm  43805
  Copyright terms: Public domain W3C validator