Theorem asclval 21869

Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2		asclfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		asclfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		asclfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 21868	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8		ovex 7393	. 2 ⊢ (𝑋 · 1 ) ∈ V
9	1, 7, 8	fvmpt 6941	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  1_rcur 20153  algSccascl 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ascl 21845

This theorem is referenced by:  asclghm  21872  ascl0  21874  ascl1  21875  asclmul1  21876  asclmul2  21877  ascldimul  21878  asclmulg  21892  psrascl  21967  mplascl  22052  psdascl  22144  ply1scltm  22256  lply1binomsc  22286  asclply1subcl  22349  pmatcollpwscmatlem1  22764  cayhamlem2  22859  ressasclcl  33646  ply1sclrmsm  48872  asclelbasALT  49493