Theorem asclval 21155

Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclfval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclfval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
asclfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Proof of Theorem asclval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7320	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 1 ) = (𝑋 · 1 ))
2		asclfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclfval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		asclfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		asclfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 21154	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 1 ))
8		ovex 7346	. 2 ⊢ (𝑋 · 1 ) ∈ V
9	1, 7, 8	fvmpt 6912	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  Scalarcsca 17032   ·_𝑠 cvsca 17033  1_rcur 19804  algSccascl 21130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-1cn 10999  ax-addcl 11001

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-nn 12044  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ascl 21133

This theorem is referenced by:  asclghm  21158  ascl0  21159  ascl1  21160  asclmul1  21161  asclmul2  21162  ascldimul  21163  mplascl  21343  ply1scltm  21523  ply1scl0  21532  ply1scl1  21534  lply1binomsc  21549  pmatcollpwscmatlem1  22009  cayhamlem2  22104  asclmulg  31771  ply1sclrmsm  45983