MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetasuplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetasuplem1 27779
Description: Lemma for noeta 27789. Establish that our final surreal really is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetasuplem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
Assertion
Ref Expression
noetasuplem1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
Distinct variable group:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem1
StepHypRef Expression
1 noetasuplem.2 . 2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
2 noetasuplem.1 . . . . 5 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
32nosupno 27749 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
433adant3 1132 . . 3 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑆 No )
5 bdayimaon 27739 . . . 4 (𝐵 ∈ V → suc ( bday 𝐵) ∈ On)
653ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → suc ( bday 𝐵) ∈ On)
7 1oex 8517 . . . . 5 1o ∈ V
87prid1 4761 . . . 4 1o ∈ {1o, 2o}
98noextendseq 27713 . . 3 ((𝑆 No ∧ suc ( bday 𝐵) ∈ On) → (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ∈ No )
104, 6, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ∈ No )
111, 10eqeltrid 2844 1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625  cop 4631   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224   × cxp 5682  dom cdm 5684  cres 5686  cima 5687  Oncon0 6383  suc csuc 6385  cio 6511  cfv 6560  crio 7388  1oc1o 8500  2oc2o 8501   No csur 27685   <s cslt 27686   bday cbday 27687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fo 6566  df-fv 6568  df-riota 7389  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690
This theorem is referenced by:  noetasuplem3  27781  noetasuplem4  27782  noetalem1  27787
  Copyright terms: Public domain W3C validator