Theorem noetainflem1 27709

Description: Lemma for noeta 27715. Establish that this particular construction gives a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetainflem.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2	⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))

Assertion

Ref	Expression
noetainflem1	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑊 ∈ No )

Distinct variable group:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noetainflem.2	. 2 ⊢ 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
2		noetainflem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
3	2	noinfno 27690	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑇 ∈ No )
4	3	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑇 ∈ No )
5		bdayimaon 27665	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∈ On)
6	5	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∈ On)
7		2oex 8410	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
8	7	prid2 4721	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {1o, 2o}
9	8	noextendseq 27639	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ No ∧ suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∈ On) → (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ∈ No )
10	4, 6, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑇 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ∈ No )
11	1, 10	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑊 ∈ No )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ifcif 4480  {csn 4581  ⟨cop 4587  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   “ cima 5628  Oncon0 6318  suc csuc 6320  ℩cio 6447  ‘cfv 6493  ℩crio 7316  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393   No csur 27611   <s clts 27612   bday cbday 27613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-riota 7317  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27614  df-lts 27615  df-bday 27616

This theorem is referenced by:  noetainflem3  27711  noetainflem4  27712  noetalem1  27713