MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetainflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetainflem1 27782
Description: Lemma for noeta 27788. Establish that this particular construction gives a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetainflem.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
Assertion
Ref Expression
noetainflem1 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑊 No )
Distinct variable group:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem1
StepHypRef Expression
1 noetainflem.2 . 2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
2 noetainflem.1 . . . . 5 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
32noinfno 27763 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
433adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
5 bdayimaon 27738 . . . 4 (𝐴 ∈ V → suc ( bday 𝐴) ∈ On)
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → suc ( bday 𝐴) ∈ On)
7 2oex 8517 . . . . 5 2o ∈ V
87prid2 4763 . . . 4 2o ∈ {1o, 2o}
98noextendseq 27712 . . 3 ((𝑇 No ∧ suc ( bday 𝐴) ∈ On) → (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ∈ No )
104, 6, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ∈ No )
111, 10eqeltrid 2845 1 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑊 No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  cima 5688  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cio 6512  cfv 6561  crio 7387  1oc1o 8499  2oc2o 8500   No csur 27684   <s cslt 27685   bday cbday 27686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-riota 7388  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689
This theorem is referenced by:  noetainflem3  27784  noetainflem4  27785  noetalem1  27786
  Copyright terms: Public domain W3C validator